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1、3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生了解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣.教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不
2、等关系的问题; 2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差变形判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例1 限速km
3、/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度不超过km/h,写成不等式就是:引例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于,蛋白质的含量应不少于,写成不等式组就是用不等式组来表示问题1: 设点与平面的距离为,为平面上的任意一点,则.问题2: 某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出万本.据市场调查,若单价每提高元,销售量就可能相应减少本.若把提价后杂志的定价设为 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于万元呢？解: 设杂志社的定价为元,则销售的总收入为万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于万元”可以表示为不等式问题3: 某钢铁厂要把长度为mm的钢管截成mm和mm两种.按照生
4、产的要求,mm的数量不能超过mm钢管的倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解: 假设截得mm的钢管根,截得mm的钢管根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过mm;(2)截得mm钢管的数量不能超过mm钢管数量的倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:(二)不等式的基本性质1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数,在三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明:
5、 (1)不等号的种类:.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集.3.同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如,是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如,是异向不等式.4.不等式的性质定理1：如果,那么,如果,那么.(对称性)即证明: 由正数的相反数是负数,得即(定理的后半部分略)点评：定理1即 定理2：如果且,那么.(传递性)即证明：根据两个正数的和仍是正数得即点评：(1)根据定理l,定理2还可以表示为;(2)不等式的传递性可以推广到个的情形.定理3：如果,那么.即(加法性质)证明：即点评：(
6、1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3可以得出,如果,那么,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从边移到另一边.推论：如果且,那么(相加法则) 即证法一：证法二：点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：如果且,那么;如果且,那么.(乘法性质)证明：当时,即当时,即推论1: 如果且,那么.(相乘法则)证明： 又 由、可得.说明： (1)所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出 的结论.(2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数
7、的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意的条件,如果,那么(且).定理5: 若,则(且).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,即和,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.证明：假定不大于,这有两种情况或者由推论2和定理1,当时,有;当时,显然有这些都同已知条件矛盾所以.点评：反证法证题思路是:反设结论找出矛盾肯定结论.定理6：若且,则(倒数性质) 证明：5.不等式的基本性质小结(1);(定理1,对称性)(2)
8、(定理2,传递性)(3)(定理3,加法单调性)(4)(定理3推论,同向不等式相加)(5)(异向不等式相减)(6);(定理4,乘法单调性)(7)(定理4推论1,同向不等式相乘)(8)(异向不等式相除)(9)(倒数关系)(10)(定理4推论2,平方法则)(11)(开方法则)(*)(*),则三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数反映了某公司产品的销售收入万元与销售量吨的函数关系,反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问: (1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本); (2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).解: 略例2 某用户计划购买单价分别为元,元的
9、单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过元,根据需要,软件至少买片,磁盘至少买盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件?解: 略例3 某厂使用两种零件,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多件,月产量乙最多件,而组装一件产品,甲需要个,个;乙需要个,个.某个月,该厂能用的最多有个,最多有个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.解: 略例4 若需要在长为mm的圆钢上,截出长为mm和mm两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知,比较与的大小.解: 略引伸: 在例中,如果没有这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较
10、法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差变形判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知,试比较与的大小.解: 略例3 已知,求证:证明: 略例4 已知且,比较与的大小.解: 略思考题:1.设且,比较与的大小.2.比较与的大小.3.已知均为正数,设,试比较和的大小.例5 若,求的范围.解: 略类型题: 已知,如果.求证:.分析: 利用与设法表示然后再代入的表达式中,从而用 与来表示, 最后运用已知条件确定的取值范围.证明: 略思考题:1.若,求不等式同时成立的条件.2.,比较与的大小.3.若,求证:.4.设函数的图象为一条开口向上的抛
11、物线.已知均为不等正数,且,求证:四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号:(1) ; (2) ;(3) ; (4)当时, .2.选择题:(1)若,则有( )A. B. C. D. (2)成立当且仅当( )A或 BC或或 D3.比较大小：(1)与 (2)与4.如果,比较与的大小.5.已知,比较与的大小.6.已知,比较与的大小.7.比较与的大小().8.设且,比较与的大小.9.设且,比较与的大小.10.如果,求证:3.2 一元二次不等式及其解法教学目的：1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系“三个二次”之间的关系;2.熟练掌握一元二次不等式的解法;3.掌握简单的分式不等
12、式、高次不等式以及绝对值不等式的解法;4.能利用分类讨论的思想讨论简单的含参一元二次不等式解法;5.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想,培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质.教学重点：1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;2.熟练掌握一元二次不等式的解法; 3.利用分类讨论的思想解简单的含参一元二次不等式.教学难点：1.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系;2.分类讨论的数学思想.教学过程：一、引入新课：让学生阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网,现在有两家I
13、SP公司可供选择,收费标准不一样.让学生计算并比较两种不同的收费方式,由此抽象出不等式的关系,引出一元二次不等式的概念,并逐步讨论其解法.二、讲解新课：1.一元二次不等式的解法 (1)一元二次不等式含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式,称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解法求一般的一元二次不等式或的解集,我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程的根,再根据函数图像与轴的相应位置确定一元二次不等式的解集.利用“二次函数”图像和性质解一元二次不等式,首先要明确“二次函数”的开口方向及其在轴上的截距.下表给出“三个二次”之间的关系,这是解一元二次不等式的核心:判别式二次函数()的图像一元二次方程()的根有两相异实数根有两个相等实数根没有实数根()的解集()的解集口诀:二次不等式,系数先化正;大于取两边,小于取中间.(3)解一元二次不等式的一般步骤 利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式(其中): 或或或计算判别式的值当时,解方程得两不等的实根,不妨设,则的解集为 的解集为 的解集为 的解集为当时,解方程得两相等的实根, 则的解集为 的解集为 的解集为 的解集为当时,解方程没有实根,则的解集为 的解集为 的解集为 的解集为2.简单的分式不等式解法 (1) (2)3.简单的绝对值不等式解法 (1) (2)4.含
