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1、第五章 大数定理和中心极限定理1一 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi，（1i16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 从而3三 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（0.5，0.5）上服从均匀分布， （1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90
2、 解： （1）设取整误差为Xi（，1500），它们都在（0.5, 0.5）上服从均匀分布。 于是： 8某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：设X为100人中治愈的人数，则XB (n, p)其中n=100（1） （2）p=0.7由中心极限定理知 7七 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整
3、个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。解：（1）设每个部件为Xi (i=1,2,100)设X是100个相互独立，服从（01）分布的随机变量Xi之和X=X1+ X2+ X100由题设知n=100 P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=0.1E (Xi ) =p=0.9D (Xi ) =p (1p)=0.90.1=0.09nE (X
4、i ) =1000.9=90, n D (Xi ) =1000.09=9=由中心极限定理知查标准正态分布表=(1.67)=0.9525解：（2）设每个部件为Xi (i=1,2,n)P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=1p=0.1E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.90.1=0.09由问题知求n=?而=1由中心极限定理知=查标准正态分布表得解得n24.35取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.八 随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求P 4.9（2）解：由中心极限定理知N (0,1)N (0,1)（1） （2）由Xi , Yj的相互独立性知独立。从而U，V独立。于是UVN (0, 2)而 =20.87491=0.7498九 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差2=400 为了估计，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，Xn，以作为的估计，为使问n至少为多少？解：由中心极限定理知，当n很大时 = 所以查标准正态分布表知即n至少取1537。
