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1、高二期末数学模拟试题2一. 填空题1. 设集合，若，则实数a的值是_.2. 设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为_.3. 设点为奇函数为常数）图像上一点，在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 . （1，2）或（-1，-2）4. 命题“”为假命题，则实数的取值范围为_ 5. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 .6. 若函数则是“函数在R上的单调递减的” 条件。7. 已知函数，分别给出下面几个结论：是奇函数； 函数 f (x) 的值域为R；若，则一定有； 函数有三个零点其中正确结论的序号有 （请将你认为正确的结论的序号都填上） 8. 函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得
2、，两边求导数，于是 运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为_ 9. 设均为正实数，且，则的最小值为.10. 设实数，使得不等式，对任意的实数恒成立，则满足条件的实数的范围是 . 二. 解答题11. 已知矩阵，其中，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点P(0,3)，（1）求实数的值； （2）求矩阵A的特征值及特征向量解：（1）由=，得 2分（2）由（1）知 ，矩阵A的特征多项式为令，得矩阵A的特征值为1或3， 4分当时 ，由二元一次方程矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为 6分当时 ，由二元一次方程矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为 8分所以，矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为，矩阵
3、A的属于特征值3的一个特征向量为 10分12. 已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值解：（1）曲线的极坐标方程可化为 2分又,所以曲线的直角坐标方程为 4分 （2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 6分 令,得,即点的坐标为(2,0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，则 8分所以 10分13. 在的展开式中，已知第项与项的二项式系数相等.（1）求的值；（2）若该展开式的第项的值与倒数第项的值的相等，求的值14. 已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都
4、为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值。（1）求随机变量的数学期望E；（2）记“关于x的不等式的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）解：（1）由题意知的可能取值为0，2，4指的是实验成功2次，失败2次.指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次.（2）由题意知：“不等式的解集是实数R”为事件A.当时，不等式化为10
5、，其解集是R，说明事件A发生；当时，不等式化为，所以解集是R，说明事件A发生；当时，不等式化为其解集，说明事件A不发生.答：故随机变量的数学期望为.事件A发生的概率为 15. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x 22x (1)求函数g(x)的解析式； (2)解不等式g(x)f(x)|x 1|； (3)若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围解：(1)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 2分点在函数的图象上，5分(2)由，当时，此时不等式无解当时，解得因此，原不等式的解集为 10分（3），11分） 16分16. 如图，有一块边长为1(百米
6、)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设。(1) 用t表示出PQ的长度，并探求的周长l是否为定值.(2) 问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(平方百米)?17. 已知函数 (1)当时，求使取到极值时的的值；(2)若在的单调区间上也是单调的，求实数a的范围.解 (1)f(x)= x2- lnx+x （）f(x)=x - + 1=0x1=，x2=2(0，单调减 ，+)单调增3f(x)在x= 时取极小值4(2)解法一：f(x)= 5令g(x)=x2-2ax+ a2+ a， =4a2-3a2-2a=a2-2a，设g
7、(x)=0的两根710 当0时 即0a2，f(x)0f(x)单调递增，满足题意920 当0时 即a2时(1)若，则 a2 + a0 即- a2时f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+)单调增，不合题意15综上得a- 或0a2. 16解法二：f(x)= 5令g(x)=x2-2ax+ a2+ a， =4a2-3a2-2a=a2-2a，设g(x)=0的两根710 当0时 即0a2，f(x)0f(x)单调递增，满足题意 920 当0时 即a2时(1)当 若a2 + a0，即- a0，即a- 时， f(x)在(0，+)上单调增，满足题意。13(2)当时，a2 + a0，f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+)单调增，不合题意15综上得a- 或0a2. 1618. 已知函数和函数.(1) 若方程在上有两个不同的解,求实数m的取值范围;(2) 若对任意,均存在,使得成立,求实数m的取值范围.
