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1、第75炼几何问题的转换、基础知识:在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。1在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线 段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为 坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符 号进行判定（2）点与圆
2、的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些 题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB为钝角（再转为向量：CA CB ： 0 ；若点在圆上，贝，ACB为直角（CA CB =0）； 若点在圆外，贝U ACB为锐角（CA CB 0）（3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：a =x1, y,b =x2, y2，贝V a,b共线 二xi y2=
3、 X2yi ；a _ b 二X1X2y$2= 0（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注 意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化(1)三角形的“重心”：设不共线的三点A Xi,% ,B X2,y2 ,C 乂3小，则 ABC 的重心 GXi +X2 +X3 yi + y2 + 込(2)三角形的“垂心”：伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零(3)三角形的“内心”：伴随着角平分线,图)：IP 丄 AC,IQ 丄 AQI在N BAC的角平分线上 n AP
4、= AQ njAC |由角平分线性质可知(如AI ACAI ABAB(4)P是以DA,DB为邻边的平行四边形的顶点=DP 二 DA DB ACB(5) P是以DA,DB为邻边的菱形的顶点： P在AB垂直平分线上(6)共线线段长度的乘积：若 A,B,C共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角)例如：AC AB|=AC AB， AC BC = AC BC例1:如图:A, B分别是椭圆=1 a b 0的左右顶点，F为其右焦点，2是、典型例题:AF , FB的等差中项， J3是AF , FB的等比中项（1）求椭圆C的方程（2）已知P是椭圆C上异于代B的动点，直线l过点A
5、且垂直于x轴，若过F作直线FQ _ AP，并交直线l于点Q。证明：Q,P,B三点共线解: （ 1）依题意可得： A -a,0 ,B a,0 ,F c,0:、AF = c +a, BF =a -c丁 2是 AF , FB 的等差中项二 4 = | AF +1FB| = a + c + a c=2a.a = 2常 丁3是 AF , FB 的等比中项二（J3） = AF FB =（a + c） a-cjna-c? = b?.b2 =32 2x y椭圆方程为：143（2）由（1）可得：A -2,0 ,B 2,0 ,F 1,0设AP: k x 2，设P X1,y1 ，联立直线与椭圆方程可得:3x2 4y
6、2 二 12y = k x 2二 4k23 x22 216k x 16k -12 =0xAx116k2 -124k236 -8k2X14k2312k4k23P 6 -8k212k、l4k2 +34k2 +3 丿另一方面，因为FQ _ AP.FQ : y - -1 x -1，联立方程:k1y x -1/ k 刍 Q -2J x = 23kjB 2,02 -24kkBpo_ 12k0 4k2 3-12k6-8k2_16k22 2 4k234k.B,Q,P三点共线x2例2 :已知椭圆二2=1(a b 0)的右焦点为F ，M为上顶点，O为坐标原点，若1 OMF的面积为一，且椭圆的离心率为2 2(1 )
7、求椭圆的方程;(2)是否存在直线l交椭圆于P， Q两点， 且使点F PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：(1) S omf OM OF = be =2 2椭圆方程为:2=1(2)设 P(xi，yj，Q(X2,y2),由(1)可得：M 0,1 ,F 1,0kM -1 F PQM 的垂心MF _ PQ1kMF由F PQM的垂心可得： MP _ FQMP = Xi, yi 1 , FQ = x2 -1,y2.MP FQx2 -1 亠 iy -1 y2 = 0 因为P,Q在直线y =x - m上代入可得:X x2 -1 | 亠洛 m -1 x2 m =02即 2xiX2
8、(Xi X2)(m-1) m -m=0 考虑联立方程：y = x + m22 22得 3x2 +4mx+2m2-2 = 0 .x2 2y2 =2=16m2 -12 2m2 -20= m2 ： 34m.X1 X2 :3X1X22m2 - 23.代入可得:m -1_ m = 04解得：m 或m = 13当m =1时， PQM不存在，故舍去44当m时，所求直线l存在，直线I的方程为y = x 3 3小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系)2 X例3:如图，椭圆冷a2每=1(
9、a b 0)的一个焦点是b2F 1,0 , O为坐标原点(1)若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,椭圆的方程；(2)设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于 代B两点，若直线l绕点F任意转动，恒有2OA + OB AB ,求a的取值范围.解：(1)由图可得：M0,-b由正三角形性质可得：.MFO,kMF6kMFA2 2二 b c =4椭圆方程为:A Xi，yi ,B X2，y2.cosAOB =oa|2 +|ob|2 - |ab2 OA OB:0-AOB为钝角OA OB = x1x2 y1 y2 : 0|y =k(x 1 )222222 2联立直线与椭圆方程： =b 2 2 2 y-i
10、 y2 = k 捲 一 1x2 -1 = k x.f x2 - kx1x2kx2 a2k2 x-1 -a2b2，整理可得:.2 2 2 2 22b x a y a ba2k2 b2 x2 _2a2k2x a2k2 _a2b2 =0222a kx1 x2 -2. 2 2 2 a k -a ba2k2 b2x1x2 =a2k2b22,22,2c2,2a k -a b , 2 2a k =kka2k2b2a2k2b22 2 2 2 2,2 kb - a b k ka2k2 -a2b2k2b2 -a2b2k2na2k2b202, 2 2 2 , 2 2 2, 2, 2a k - a b k b - a
11、 b k : 0 恒成立2 2 . 2 2. 2 2. 2 , M即k a b -a b : a b 恒成立2 , 2 2,2 , 2 2.a b - a b ： 0 b a -12 2 2.2a -1-a a -1 : 0 解得:1 、5a2.a的取值范围是2 2x y例4：设A, B分别为椭圆1 a b 0的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距,a b且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为y-（1 ）求椭圆的方程;(4,0)（2）设P为直线X = 4上不同于点4,0的任意一点，若直线AP, BP分别与椭圆相交于异于A, B的点M ,N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：（1）依题意可得a =2c
12、,且到右焦点距离的最小值为a - c = 1可解得：a=2,c=1. b=.32 2椭圆方程为-y 14 3（2）思路：若要证 B在以MN为直径的圆内，只需证明 MBN为钝角，即 MBP为锐 角，从而只需证明BM BP 0，因为代B坐标可求，所以只要设出 AM直线（斜率为k）， 联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而 BM BP可用k1表示。即可判断BM BP的符号，进而完成证明解：由（1）可得A -2,0 ,B 2,0，设直线AM , BN的斜率分别为k，M x1,y1 ，则AM : k x 2 联立AM与椭圆方程可得:y = k x 22 23x 4y =12消去y可得:4k2
13、3 x2 16k2x 16k2 -12 =016k2 126-8k2xAx12= x12A 1 4k231 4k23.y kx1 2k 挙，即 M4k 3J 8k212k,4k2 +34k2 +3设P 4,y0，因为P在直线AM上，所以 yk 42=6k，即 P 4,6kBP h2,6k ,BM 二-16k212k,4k2 +3 4k2 +3.BP BM2 2-32 k12k40k6k 2204k23 4k23 4k23-MBP为锐角，一 MBN为钝角 .M在以MN为直径的圆内例5:如图所示，已知过抛物线 x3线相交于代B两点，与椭圆一y24存在直线l使得AF CF程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点F 0,1，设丨：y =kx 1AF CF| = BF DFAFBFDF，不妨设CFAF| _|DFBF| jCF|则 AF FB,DF 二 FC设 A/,% ,B X2,y2 ,C X3,y3 ,D X44AF - -x1,y1 ,FB hx2,y2 -1CF h-X3,1 -y3 ,FD hX4,y4 -1_X1 二X2考虑联立直线与抛物线方程:-X3 二X4y = kx +1x2=4y 二2x 4kX4 二 0
