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1、淮北师范大学学士毕业论文 论文题目XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究学院、专业 物理与电子信息学院 电子信息工程 研 究 方 向 数字信号处理 学 生 姓 名 XX 学 号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名 XXX 指导教师职称 讲师 2012年4月26日4淮北师范大学2012届学士毕业论文 离散傅里叶变换的分析与研究 离散傅里叶变换的分析与研究XX淮北师范大学物理与电子信息学院 235000摘要 离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用
2、。本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。关键词 离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析 The Analysis and Research of Discrete Fourier TransformXXSchool of Physics and Electroni
3、c Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fouri
4、er transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing .This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mai
5、nly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of t
6、he cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal band
7、width, sampling frequency and intercept length.Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis目 次1 绪论12 DFT的基本理论22.1 DFT的定义22.2 DFT的隐含周期性22.3 DFT的性质33 DFT的应用63.1 用DFT计算线性卷积63.2 用DFT对信号进行谱分析93.3 用DFT进行谱分析的误差问题12结 论13参考文献14附录15致 谢181 绪论傅里叶变换是数字信号处理中常用的重要数字变换。对于有限长序列，还有一种
8、更为重要的数学变换，即本文要讨论的离散傅里叶变换（即DFT）。离散傅里叶变换之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更为重要的是，离散傅里叶变换有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。所以说，离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都有着广泛的应用。(1) 快速傅里
9、叶变换快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。按照DFT的定义计算一个长为n的序列的DFT需要的计算复杂度达到了，而同样长度FFT的计算复杂度仅为。由于DFT的逆变换可以由DFT表示，所以DFT逆变换的计算同样可以由FFT完成。FFT算法的提出，使DFT得到了广泛的实际应用。(2) 频谱分析前面指出，DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适
10、当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。(3)数据压缩由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号1-2。2 DFT的基本理论2.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为： (1)(1)式即为离散傅里叶变换的表达
11、式，其中，N称为DFT变换的区间长度。2.2 DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使(1)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有：k,m为整数，N为自然数所以(1)式中，X(k)满足：实际上,任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即： (2)为了以后叙述方便，将(2)式用如下形式表示：式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求余， 即如果：n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数则 (n)N=n1如果x(n)的长度为N，
12、且，则可写出的离散傅里叶级数表示为：式中2.3 DFT的性质2.3.1 线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且 ：式中a、b为常数， 即N=maxN1, N2，则y(n)的N点DFT为:其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。2.3.2 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为： (3)(3)式表明，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到，再将左移m得到，最后取的主值序列则得到有限长序列x(n)的循环移位序列y(n),显然，y(n)是长度为N的有限长序列。观察图1可见，循环移位的实质是将x(n)
13、左移m位，而移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。“循环移位”由此得名。 由循环移位的定义可知，对同一序列x(n)和相同的位移m，当延拓周期N不同时，则不同。图1循环移位过程示意图2.4.3 时域循环移位定理设x(n)是长度为M（MN）的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即：则 2.4.4 频域循环移位定理频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上。由于频域与时域的对偶关系，有如下性质： 则 (4)(4)式的证明方法与时域循环移位定理类似。2.4.5 循环卷积定理时域循环卷积定理是DFT中最重要的定理，具有很强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲响应，计算计算机的输出，以及用FFT实现FIR滤波器等，都是基于该定理的。以下介绍循环卷积的定义及循环卷积定理。循环卷积定义： 设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为：式中，L称为循环卷积区间长度，LmaxN,M。循环卷积定理：有限长序列和，长度分别为N1和N2，N=maxN1,N2。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：如果
