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1、源头学子 http:/ 特级教师 王新敞 2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已经，则CUA B C D【详细解析】 先求出=1,2,3,4,5,7，再求CU【考点定位】 考查集合的并集，补集的运算,属于简单题.2若向量，则与的夹角等于A B C D 【详细解析】 分别求出与的坐标，再求出，带入公式求夹角。【考点定位】 考查向量的夹角公式cos=,属于简单题.3若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=A B C D 【详细解析】则=，=【考点定位】 考查任何函数都可以写成一个奇函数与
2、一个偶函数的和。f(x)= ，其中偶函数G(x) =，奇函数H(x)= .属于中档题.4将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则xyOFABCDA B C D【详细解析】 根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n，n=2，所以选C.【考点定位】 本题主要考查了抛物线的简单性质.主要是利用抛物线和正三角形的对称性.属于简单题.246810120.190.150.050.02样本数据5有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示根据样本的频率分
3、布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为A18 B36 C54 D72【详细解析】 因为组距为2，所以的频率为0.18，所以频数为2000.18=36【考点定位】 本题主要考查频率分布直方图，知道其横坐标、纵坐标的含义，以及图像与横轴所围面积的和为“1”,属于简单题.6已知函数，若，则的取值范围为A B C D 【详细解析】 由条件得，则，解得，所以选A.【考点定位】 本题考查三角函数的公式运用sin（-）=sincos-cossin,属于简单题.7设球的体积为，它的内接正方体的体积为下列说法中最合适的是A比大约多一半 B比大约多两倍半C比大约多一倍 D比大约多一倍半【详细解析】 依题意2.6
4、【考点定位】 本题考查空间立体几何的空间想象力，知道球的内接正方体的对角线长与球半径的关系，并会用球的体积公式和正方体体积公式.属于中档题.8直线与不等式组表示的平面区域的公共点有A0个 B1个 C2个 D无数个【详细解析】 如图直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域只有一个公共点【考点定位】 本题考查不等式组表示的平 面区域，考查数形结合的数学方法. 属于简单题.9九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A1升 B升 C升 D升【详细解析】 由题意 ，解得，d=，所以易求a5=【考点定位】
5、本题数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.属于简单题.10若实数，满足，且，则称a与b互补记，那么是与互补的A必要而不充分的条件 B充分而不必要的条件C充要条件 D既不充分也不必要的条件【详细解析】 若(a,b)= ，则=（a+b） 两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|-b=0，故b0，即a与b互补，而当a与b互补时，易得ab=0，此时=0，即(a,b)=0，故(a,b)=0是a与b互补的充要条件.【考点定位】 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断（a，b）=0a与b互补与a与b互补（a，b）=0的真假，是解答本题的关键
6、属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家【答案】 20【详细解析】 大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家. 共有超市200+400+1400=2000按分层抽样方法抽取一个容量为100样本，每个个体被抽到的概率是，中型超市要抽取400=20家.【考点定位】 本题考察分层抽样，这是每年必考的题目，解题的关键
7、是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.属于简单题.12的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）【答案】 17【详细解析】 二项展开式的通项为Tr+1=，令18- =15得r=2，所以展开式中含x15的项的系数为=17【考点定位】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.属于简单题.13在30瓶饮料中，有3瓶已过了保持期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 （结果用最简分数表示）【答案】 【详细解析】.【考点定位】考查独立事件的概率，属于简单题.14过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为 【答案】1或 【详细解析】 设直线斜率是k，由题意得圆
8、心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可计算得k=1或【考点定位】考查解析几何中直线与圆的位置关系，会运用点到直线的位置关系公式.属于中档题.15里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，地震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍【答案】6或10000【详细解析】 根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.01，则M=lgA-lgA0=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6. 设9级地震的最大振幅是
9、x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3,5=lgy+3，解得x=106，y=102，所以【考点定位】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用,属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知，（）求ABC的周长；（）求的值【详细解析】（） 的周长为（） ，故A为锐角，【考点定位】考查三角形与三角函数的运用及运算能力，属于简单题。17（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列的、（）求数列的通项公式；（）数列的前项
10、和为，求证：数列是等比数列【详细解析】（）设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5所以中的依次为依题意，有，解得或（舍去）故的第3项为5，公比为2 由，即，解得所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为 （）数列的前n项和，即所以， 因此数列是以为首项，公比为2的等比数列【考点定位】考查数列的综合运用，属于中档题.18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且，（）求证；（）求二面角的大小【详细解析】解法1：（）由已知可得，于是有，所以，又，所以平面 由平面，故（）在中，由（）可得，于是有
11、，所以 又由（）知，且，所以平面又平面，故 于是即为二面角的平面角由（）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角的大小为解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（），（），设平面的一个法向量为，由，得即 可取设侧面的一个法向量为n，由，及，可取设二面角的大小为，于是由为锐角可得，即所求二面角的大小为【考点定位】考查线线垂直，求二面角的大小，属于中档题.19（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况的一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超
12、过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【详细解析】（）由题意：当时，；当时，再由已知得 解得故函数的表达式为（）依题意并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当，即时，等号成立所以，当时，在区间上取得最大值综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时【详细解析】考查分段函数的综合运用，属于中档题.20（本小题
13、满分13分）设函数，其中，、为常数已知曲线与在点处有相同的切线（）求、的值，并写出切线的方程；（）若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围【详细解析】（），由于曲线与在点处有相同的切线，故有，由此得 解得所以，切线的方程为（）由（）得，所以依题意，方程有三个互不相同的实根0、，故、是方程的两相异的实根，所以，即又对任意的，成立，特别地，取时，成立，得由韦达定理，可得，故对任意的，有，则，又，所以函数在的最大值为0于是当时，对任意的，恒成立综上，的取值范围是【详细解析】 考查函数综合运用，属于中档题.21（本小题满分14分）平面内与两定点、连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线（）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为设、是的两个焦点试问：在上，是否存在点，使得的面积若存在，求的值；若不存在，请说明理由【详细解析】（）设动点为，
