南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷.doc

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1、南通市2013届高三第一次调研测试数学I参考答案与评分标准(考试时间:120分钟 满分:160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知全集U=R,集合,则 答案:2已知复数z=(i是虚数单位),则复数z所对应的点位于复平面的第 象限 答案:三3已知正四棱锥的底面边长是6,高为,这个正四棱锥的侧面积是 答案:48.4定义在R上的函数,对任意xR都有,当 时,则 答案:5已知命题:“正数a的平方不等于0”,命题:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则是的 (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)开始结束Yn1输入x输出xnn+1x2x

2、+1n3N(第8题)答案:否命题6已知双曲线的一个焦点与圆x2+y210x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为 答案:7若Sn为等差数列an的前n项和,S9=36,S13=104,则a5与a7的等比中项为 答案:8已知实数x1,9,执行如右图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为 答案:9在ABC中,若AB=1,AC=,则= 答案:10已知,若,且,则的最大值为 答案:211曲线在点(1,f(1)处的切线方程为 答案:(第12题)O12如图,点O为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时则

3、该物体5s时刻的位移为 cm 答案:1.513已知直线y=ax+3与圆相交于A,B两点,点在直线y=2x上,且PA=PB,则的取值范围为 答案:14设P(x,y)为函数图象上一动点,记,则当m最小时,点 P的坐标为 答案:(2,3)二、解答题:本大题共6小题,共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤15(本题满分14分)ABCDEFA1B1C1(第15题)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,E是侧面AA1B1B对角线的交点,F是侧面AA1C1C对角线的交点,D是棱BC的中点求证:(1)平面ABC;(2)平面AEF平面A1AD解:(1)连结ABCDEFA

4、1B1C1(第15题)因为分别是侧面和侧面的对角线的交点,所以分别是的中点所以 3分又平面中,平面中,故平面 6分(2)因为三棱柱为正三棱柱,所以平面,所以故由,得 8分又因为是棱的中点,且为正三角形,所以故由,得 10分而,平面,所以平面12分又平面,故平面平面14分16.(本题满分14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圆直径为1,求的取值范围解:(1)因为,即,所以,即 ,得 4分所以,或(不成立)即 , 得 7分(2)由因, 8分故= 11分,故14分17.(本题满分14分)ABCD(第17题)P某公司为一家制冷设备厂设计生产一种

5、长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示,为长方形薄板,沿AC折叠后,交DC于点P当ADP的面积最大时最节能,凹多边形的面积最大时制冷效果最好(1)设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?解:(1)由题意,因,故 2分设,则因,故由 ,得 ,5分(2)记的面积为,则 6分,当且仅当(1,2)时,S1取得最大值8分故当薄板长为米,宽为米时,节能效果最好 9分(3)记的面积为,则,10分于是,11分关于的函数在上递增,在上递减所以当时,取得最大值 13分故当薄板长

6、为米,宽为米时,制冷效果最好 14分18.(本题满分16分)已知数列an中,a2=1,前n项和为Sn,且(1)求a1;(2)证明数列an为等差数列,并写出其通项公式;(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1pq),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由解:(1)令n=1,则a1=S1=0 3分(2)由,即, 得 ,得 于是, +,得,即 7分又a1=0,a2=1,a2a1=1,所以,数列an是以0为首项,1为公差的等差数列所以,an=n1 9分(3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成

7、等差数列,于是, 11分所以,()易知(p,q)=(2,3)为方程()的一组解 13分当p3,且pN*时,0,故数列(p3)为递减数列,于是0,所以此时方程()无正整数解综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列 16分注 在得到式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分但在做除法过程中未对n2的情形予以说明的,扣1分19.(本题满分16分)已知左焦点为F(1,0)的椭圆过点E(1,)过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点

8、,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标解:依题设c=1,且右焦点(1,0)所以,2a=,b2=a2c2=2,故所求的椭圆的标准方程为 4分(2)设A(,),B(,),则,得 所以,k1= 9分(3)依题设,k1k2设M(,),直线AB的方程为y1=k1(x1),即y=k1x+(1k1),亦即y=k1x+k2,代入椭圆方程并化简得 于是, 11分同理,当k1k20时,直线MN的斜率k=13分直线MN的方程为,即 ,亦即 此时直线过定点 15分当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点综上,直线MN恒过定点,且坐标为 16分20.(本题满分16分)已知函数且x1

9、)(1)若函数在上为减函数,求实数a的最小值;(2)若,使f(x1)成立,求实数a的取值范围解:(1)因f(x)在上为减函数,故在上恒成立 2分所以当时,又,故当,即时,所以于是,故a的最小值为 6分(2)命题“若使成立”等价于“当时,有” 7分由(1),当时, 问题等价于:“当时,有” 8分当时,由(1),在上为减函数,则=,故 10分当时,由于在上为增函数,故的值域为,即(i)若,即,在恒成立,故在上为增函数,于是,=,不合 12分(ii)若,即,由的单调性和值域知,唯一,使,且满足:当时,为减函数;当时,为增函数;所以,=,所以,与矛盾,不合 15分综上,得 16分南通市2013届高三第

10、一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准(考试时间:30分钟 满分:40分)21【选做题】本题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题,每小题10分,共20分请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41:几何证明选讲ABEFDCO(第21A题)如图,ABC是O的内接三角形,若AD是ABC的高,AE是O的直径,F是的中点求证:(1); (2)证明:(1)连,则,又,所以ABEADC,所以 5分(2)连,是的中点,由(1),得, 10分B选修42:矩阵与变换已知曲线,在矩阵M对应的变换作用下得到曲线,在矩阵N对应的变换作用下得到曲线,求曲线的方程解:设A=NM,则A, 3分设是曲线C上任一点,在两次变换下,在曲线上的对应的点为,则 , 即 7分又点在曲线上, ,即

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