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1、 $3 统计热力学基础$3-2 Boltsman统计一、定位体系及最概然分布的讨论： 近独立体系（U,V,N） NNi 1 Ni N =0 UNii 2 NiiU =0Ni某一能级粒子数，i某一能级1和2为设定函数 体系（U,V,N）某一种分配的总分布方式数能级 1 2 3 m i统计单元 N1 N2 N3 Nm Ni t (3.3) N大，t大 i大即能级多，t大 对比 t 简并 (3.19.0)多了一项gi产生的分布方式数 所有n种分配的分布方式总数：热力学几率 (3.4) 对比 简并 (3.19)对比多出一项gi 的讨论： 分配序号： 1 2 3 j n 最少 0 0 0 tm 0 普通
2、一种 1 2 3 tm n 最大 tm tm tm tm tm 由以上讨论可知：tmn tm ln tmln ln nln tm tm n即： ln tmln 0ln tm所以 ln ln tm 求t的极大值tm 的讨论： ln tlnN！ln Ni！利用斯特林公式 ln tNlnNN （Ni ln Ni Ni） （*）对比 ln t简并lnN！ln Ni Ni.ln gi NlnNN （Ni ln Ni Ni）Ni.ln gi拉格朗日（因子）数学处理法：微分 d ln t 0NNi .（） 0UNii .（） 0若有极值，第一式为求导，应为零。则三式相加也为零： =0对于任意一个能级均有：
3、=0对*公式求导：（）U,V,N 00lnNi11lnNi 带入上式可得极大值时的结论： +lngi lnN= lnN=+lngi +lngi 即 N=exp +lngi (3.12) .gi gi . 注： 能级从1i，其中分布的N1Ni符合上式时，带入式（3.3）等将有最大值。故称： “最概然分布”二、和值得求解求值： 已知NN则 N 若为有简并能级分布时，在第二指数项前出现gi.gi 得： N / .gi ln N ln() (3.13) .gi 带入(3.12)公式得：N= 两个 .gi 关键是值求值： t m Sk.ln=k.ln tm k.NlnNNNlnNN将（3.12）公式带入
4、 k.NlnNNN将（3.13）公式带入 k.NlnNN(lnNln)U Sk.N.lnkU (3.14)有函数S（N.U.）=SN.U.（U.V） Sk.N.lnkU ()V.N().N()U.N()V.N 讨论可讨论的微分项讨论： dUT.dSpdV 得 ()V.N一般确定为不变量 ().N0k.k. ()U.NkN.(ln)k.U k N.U k N.U k N.U k N.U 0将各个结果带入微分式得： k0.()V.N即： 可知：有 N= 在分子和分母的指数项前均有gi 两个.gi Sk.N.lnU/T .giFUTS Fk.N.T.ln .gi此亥姆霍兹自由能的表达式最为简单，以次
5、作为特性函数，求解其他热力学函数。如： SFU/T 热力学总能U是一个不知其绝对值的热力学函数量。具有能级简并的定位体系： 能级 1 2 3 m i 简并 g1 g2 g3 gm gi 统计单元 N1 N2 N3 Nm Ni tgC .gC .gCgC t 简并 P192 一组常用公式： N= .gi S简并k.N.lngiU/T F简并k.N.T.lngi 注： 最简单定位体系gi1三、具有能级简并的非定位体系： 粒子等同性修正 N= .gi S非k.ln k.N.lngiU/Tk.lnN！ S定k.lnN！F非k.T.lnk.T.lnN！ F定k.T.lnN！ 与定位体系比，扣除一个常数宏观讨论： S定S2S1 S非S非2S非1 (S2k.lnN！)（S1k.lnN！） S定 即宏观上忽略了微观的差异。四、玻兹曼公式的其它表现形式 设j为基态0，则对应N0 有 NN0e例：空气和地球重力 mg.h 0=0 PP0eP0e五、摘取最大项法数学讨论参见投影片ln() .gi
