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1、第34届全国中学生物理竞赛复赛试题第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试一试题解答2017年9月16日一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如下图。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置邻近做微振动的频次：（ 1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部邻近作无滑转动；（ 2）圆筒可绕其固定的圆滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部邻近作无滑转动。R1二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线rkP1cosC式中，r是P到太阳S的距离，是矢径SP相对于极r轴SA的夹角（以逆时针
2、方向为正），kL22,L是BAGMmS1011m3kg1s2为P相对于太阳的角动量，G6.67RE引力常量，M1.991030kg为太阳的质量，D2EL2为偏心率，m和E分别为P的质量12M23Gm和机械能。假定有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如下图。已知地球轨道半径RE1.491011m，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过C、D两点时速度的大小。已知积分公式xdx23/21/2xaxa2axaC，式中C是随意常数。32三、（40
3、分）一质量为M的载重卡车A的水平车板上载有一质量为m的重物B，在水平直公路上以速度v0做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L（L0）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为BLA1，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为2（21）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B与车厢前壁不发生碰撞的条件；（ 2）若重物和车厢前壁发生碰撞，
4、求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。3四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O点与O1点为圆心的导电半圆弧内切于M点，半圆O的半P径为2a，半圆O1的半径为a；两个半圆弧和圆O的半Q径ON围成的地区内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感觉强度大小为B；其余地区没有磁场。M1ON半径OP为一均匀细金属棒，以恒定的角速度绕OO点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP与两个半圆弧均接触优秀。已知金属棒OP电阻为R，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P点与M点重合。在t（0t）时刻，半径OP与半圆O1交于Q点。求（ 1）沿回
5、路QPMQ的感觉电动势；（ 2）金属棒OP所受到的原磁场B的作使劲的大小。4五、（40分）某种盘旋加速器的设计方案如俯视图a所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP方向的狭长地区），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b）；两细虚线间（除开两极板之间的地区）既无电场也无磁场；其余部分存在匀强磁场，磁感觉强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为q（q0）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场地区，O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为bD（常数b为大于2的自然数）。已知磁感觉强度大小在零到Bma
6、x之间可调，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。假定如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求（ 1）可能的磁感觉强度B的最小值；（ 2）磁感觉强度B的其余所有可能值；（ 3）出射离子的能量最大值。DbDODPS图bS图a5六、（40分）1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，进而证了然原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm:760nm）内的光谱线。仅考虑一维正碰。（ 1）求该氢原子能发出的可见光的波长；（ 2）求加速后电子动能Ek的范围；（
7、3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。已知hc1240nmeV，其中h为普朗克常数，c为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。6七、（40分）如气体压强-体积图所示，摩尔数为的双原子理想气体组成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A到B为直线过程，自B到A为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为5R，R为气体常量。2（1）求直线AB过程中的最高温度；（2）求直线AB过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB过程各段体积范围内是吸热过程仍是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度Tc；（3
8、）求整个直线AB过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。PAP0P0/2BO0V0VV/27八、（40分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由好多个同轴环带套在一同组成的，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其余环带分别是属于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的构造能够防止普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主假如确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F点）。已知透镜材料的折射率为n，从透镜中心O（球冠的极点）到焦点F的距离（焦距）为f（平行于光轴的
9、平行光都能经环带折射后汇聚到F点），相邻环带的间距为d（d很小，可忽略同一带内的球面像差；d又不是特别小，可忽略衍射效应）。求（ 1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离；（ 2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。dddOFddd8第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试一试题解答2017年9月16日一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如下图。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置邻近做微振动的频次：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部邻近作无滑转动；（2）圆筒可绕其固定的圆滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附R近作无滑转动。解：（ 1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得Fmgsinma式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑转动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1（规定小圆柱在最低点时10）与之间的关系为Rr(1)
