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1、内装订线外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_人教版2023-2024学年度第二学期期末测试卷及答案高一 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. B. 1C. D. 2. 一组数据按从小到大的顺序排列为,若该组数据的中位数是众数的倍,则为( )A. 4B. 5C. 6D. 73. 已知向量与的夹角为,且,则在方向上的投影向量是( )A. B. C. D. 4. 某校200名学生参加环保知识竞赛,随机抽取了20名学生的考试成组(单位:分),成绩的频率分布直
2、方图如图所示,则下列说法正确的是( ) A. 频率分布直方图中a的值为0.006B. 估计某校成绩落在内的学生人数为50人C. 估计这20名学生考试成绩的众数为80分D. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为80分5. 已知是三条不同的直线,是三个不重合的平面,则下列说法正确的是( )A. ,则B. 与异面,则不存在,使得C. ,则D. ,则6. 在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,是侧面(包含边界)上的一动点,若平面,则线段长度的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 已知是边上的点,且为的外心,则的值为( )A. B. 10C. D. 98. 已知正四棱锥的侧面是边长为6的正
3、三角形,若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目条件.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知为虚数单位,以下四个说法中正确的是( )A B. C. 若复数满足,则或D. 已知复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为直线10. 为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量,图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本,并算得样本的平均数为6,方差为8:图书管理员乙也抽取了一个容量为200的样本,并算得样本的平均数为9,方差为11.若将两个样本合在一起组成
4、一个容量为300的新样本,则新样本数据的( )A. 平均数为7.5B. 平均数为8C. 方差为12D. 方差为1011. 已知,且,当时,定义平面坐标系为“-仿射”坐标系,在“-仿射”坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义:分别为轴,轴正方向上的单位向量,若,则记为,那么下列说法中正确的是( )A. 设,则B. 设,若,则C. 设,若,则D. 设,若与的夹角为,则12. 某组合体由一个铜球和一个托盘组成,如图,已知球的体积为,托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成,如图.则下列说法正确的有( )A. 多面体的体积为B. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为C. 异面直线与所
5、成的角的余弦值为D. 球离球托底面的最小距离为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若是方程的一个根,则_.14. 在正四棱锥中,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_.15. 在中,它的内角对应边分别为.若,则_.16. 甲乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分） 已知点,直线与单位圆在第一象限的交点为. (1)求；(2)求.18. （本题满分12分） 已知直三棱柱面为的中点. (1)证明:平面；(2)若直三棱柱体积为1,
6、且,求直线与平面所成角的正弦值.19. （本题满分12分） 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.31010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.010110.310.610.510410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和,样本方差分别为和.已知.(1)求；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为有显著提高,否则不认为有显著提高).20. （本题满分12分） 等腰直角中,内一点,.
7、(1)若,求；(2)若,求.21. （本题满分12分） 如图,在三棱台中,平面平面. (1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的大小的正切值.22. （本题满分12分） 小明对圆柱中的截面进行一番探究.他发现用平行于底面的平面去截圆柱可得一圆面,用与水平面成一定夹角的平面去截可得一椭圆面,用过轴的平面去截可得一矩形面. (1)图1中,圆柱底面半径为,高为2,轴截面为,设为底面(包括边界)上一动点,满足到的距离等于到直线的距离,求三棱锥体积的最大值；(2)如图2,过圆柱侧面上某一定点的水平面与侧面交成为圆,过点与水平面成角的平面与侧面交成为椭圆,小明沿着过的母线剪开,把圆柱侧面展到一个平
8、面上,发现圆展开后得到线段,椭圆展开后得到一正弦曲线(如图3),设为椭圆上任意一点,他很想知道原因,于是他以为原点,为轴建立了平面直角坐标系,且设(图3).试说明为什么椭圆展开后是正弦曲线,并写出其函数解析式.参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选:C.2. C【解析】【分析】根据众数、中位数的定义求解即可.【详解】从小到大排列数据为:;所以众数为4,中位数为,该组数据的中位数是众数的倍, .故选:C.3. C【解析】【分析】根据数量积的定义求出,再根据
9、在方向上的投影向量为计算可得.【详解】因为向量与的夹角为,且,所以,所以在方向上的投影向量为.故选:C4. D【解析】【分析】根据所有矩形的面积和为1,求出,由此利用频率分布直方图结合选项即可逐一求解.【详解】由频率分布直方图,得:,解得,故A错误;总体中成绩落在,内的学生人数为,故B错误.这20名学生数学考试成绩的众数为75,故C错误;前三个矩形的面积和为,这20名学生数学考试成绩的第60百分数为80,故D正确;故选:D5. A【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A,因为,如下图,若分别为面、面、面,且为,显然面,则,故A正确;对于B,如
10、下图,为直线,为直线,为直线,取的中点,连接,所以四边形为,存在,使得,故B错误; 对于C,若,则相交、平行、异面,所以C错误;对于D,若,则,所以D错误.故选:A.6. C【解析】【分析】分别取棱、的中点、,连接,易证平面平面,由题意知点必在线段上,由此可判断在或处时最长,位于线段中点处时最短,通过解直角三角形即可求得.【详解】如下图所示,分别取棱,的中点、,连,分别为所在棱的中点,则,又平面,平面,平面.,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面,又,平面平面.是侧面内一点,且平面,点必在线段上.在中,.同理,在中,可得,为等腰三角形.当点为中点时,此时最短;点位于、处时,最长.,.线段长度
11、的取值范围是.故选:C.7. A【解析】【分析】依题意可得,取、中点分别为、,求出,再根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为,所以,因此,取、中点分别为、,则,因此,所以.故选:A8. D【解析】【分析】根据题意转化为求一个正棱台的外接球半径,根据正棱台中的直角梯形(或直角三角形)求得棱台的高,外接球的半径,从而计算球表面积.【详解】如第一个图所示,正四棱锥中,其侧棱上的八个三等分点构成正四棱台,且正方形的边长为2,正方形的边长为4;正四棱台中,设、分别是上、下底面对角线交点,即上、下底面中心,是正四棱台高. , 在直角梯形中,由对称性外接球球心在直线上,设球半径为,连接,若在线段上(如第二
12、个图所示),由得,因为,所以方程无实数解,因此在的延长线上(如第三个图所示),即在平面下方,因此有,解得,所以球表面积为.故选:D【点睛】方法点睛:本题考查立体几何图形的综合应用.几何体的外接球问题要善于寻找球心,通过图形关系求解半径进而求解外接球的表面积或体积.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目条件.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. BD【解析】【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.【详解】对于A,由于复数不能比较大小,故A错误;对于B,设,则,所以,故B正确;对于C,设,若复数满足,则,所以复数不只是或,故C错误;对
13、于D,设,由于,所以,所以,所以在复平面内对应的点所构成的轨迹为轴,是直线,故D正确;故选:BD.10. BC【解析】【分析】根据已知条件,结合平均数和方差公式即可求解.【详解】新样本平均数为,故A错误,B正确;所以合并一起后样本的方差为,故选项C正确,D错误,故选:BC.11. BD【解析】【分析】根据题意得:,对于A结合向量相等理解判断;对于B、D:利用以及进行运算判断;对于C:若,则,使得.【详解】,对于A:即,故选项A错误;对于B:若,当即时,显然满足:;当即或时,则,使得,即则可得,消去得:,故选项B正确;对于C:,则,可得,若,则,故选项C错误;对于D:,由选项A可得:,由选项C可得:,若与的夹角为,则,即,整理可得,解得或(舍去),则,故选项D正确;故选:BD.12. ACD【解析】【分析】由立体几何的相关知识逐项分析判断即可.【详解】因为托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成,所以连接、和得几何体,因此构建一个底面边长为2,高为的正三棱柱,取、和的中点分别为、和,则几何体就是题意中的几何体,如图: 这个儿何体的上底面是边长为1的正三角形,下底面是边长为2的正三角形,高为.因为铜球的体积为,所以由球的体积公式得铜球的半径.对于
