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1、3个给高中数学课堂的游戏，发散思维！“1415”游戏历史上曾发生过一段有趣的故事。美国科学魔术师萨姆洛伊德在1878年推出了 一款著名的“1415”智力玩具，这个游戏迅速风靡欧美大陆。在德国的马路上、 工厂里、皇宫中、国会大厦，到处都有人在如痴如醉地玩这个游戏，以致许多工厂 老板不得不出示公告，禁止人们在上班时玩游戏，否则开除！在法国，从比利牛斯 山脉到诺曼底半岛的小山村和巴黎的林荫大道，也是处处可见玩这个游戏的人群。 这个玩具在出售时的初始布局如图所示，玩具的制作者洛伊德承诺，谁能够通过 滑动其中的数块使错位的14和15换成正常次序，谁就能获得1000美元的奖金。1000 美元可不是一个小数
2、目，自然会引起轰动。事实上，这是永远无法达到的，只是洛 伊德的一个“诡计”，因为这正是一个奇排列。但从上图所示的初始布局，还是可以得到一些有趣的终局。如下图所示，即把数字115的次序理顺，但空格不在右下角，而在左上角。目前已知这个玩法的最少步数是44步，如下所示： 14,11,12,8,7；6,10,12,8,7；4,3,6,4,7；14,11,15,13,9；12,8,4,10,8；4,14,11,15,13；9,12,4,8,5；4,8,9,13,14；10,6,2,1。重排九宫在分成9个小方格的盒子里，将18这8个数字任意安排，余下一个空格，与空 格上、下、左、右相邻的数字可以移动。要求
3、最后的数字从1至8按顺序排好，空格 居于右下角。如图1-10所示，这就是重排九宫游戏。重排九宫是否有解？其准则和重排十五是一致的。在重排九宫有解的情况下， 人们又欲寻找以最少的步数完成从初始状态到终局状态的转换。这是相当有难度的 问题，例如求欲使图中的数排成图1-10的顺序，其最少步数是多少？19世纪，英国趣味数学家杜丹尼找到一种36步的解答方法：12543， 12376， 12376，12375，48123，65765，84785，6。该方法长期以来被认为是最佳答案， 没有人提出质疑。直到后来借助于电子计算机，一下子找到10种30步的解答方法， 才打破了杜丹尼的记录。这些解法如下： 1258
4、7，43125，87431，63152，65287，41256； 14587，53653，41653，41287，41287，41256； 14314，25873，16312，58712，54654，87456； 12587，48528，31825，74316，31257，41258； 14785，24786，38652，47186，17415，21478； 34785，21743，74863，86521，47865，21478； 34785，21785，21785，64385，64364，21458； 34521，54354，78214，78638，62147，58658； 34521，57
5、643，57682，17684，35684，21456； 34587，51346，51328，71324，65324，87456平面图形一笔画在普鲁士东部，濒临波罗的海有一座古老而美丽的城市叫作哥尼斯堡。昔日此 为一座重要的工业城市，为东普鲁士的首府，并有一所历史悠久的大学。哥尼斯堡 被新河、旧河及布勒格尔河贯穿全城，并将全城分成了4部分。于是人们建造了7座 桥，以把哥尼斯堡连成一体每天城里的居民来往这7座桥，熙熙攘攘。望着淙淙流水，这里传出了一个有趣 的问题：是否能够一次走遍所有这7座桥，而且每座桥只能走一次？这个问题似乎不难，谁都乐意去试一下，只是日子一天天过去，也没有人做得 到。随着此问
6、题的传播，哥尼斯堡也因此出名。1727年，欧拉受聘到俄国圣彼得堡科学院工作后，便听到了上述这个故事。他 并不曾到过哥尼斯堡，但在听到这个问题后只花了几天的时间，便解决了此“七桥 问题”。他首先将七桥问题转化为一数学模型。他看出两岸陆地及河中的岛都不过 是桥的连接点，其大小及形状与问题无关，因此可将它们视为4个点。至于7座桥是7条必经的路线，它们的长短曲直也与问题本身无关，因此可以用任意7条曲线来表 示。他先想到如图所示的简化图，然后得到数学模型。如此，欧拉将七桥问题抽象成一个一笔画问题，即图形能否用一笔画 出。接着欧拉发现，凡是能用一笔画出的图形，每当你用笔画一条线（可以是曲 线）进入其中的一
7、个点（除了起点与终点）时，你还必须画一条线离开此点，否则 图形便不能以一笔画出。也就是说，除了起点与终点，图中每一个点都应与偶数条 线相连（这种点称为偶点，反之称为奇点）。若起点与终点重合，则此重合点也应 与偶数条线相连（故此点亦为偶点）；若起点与终点不重合，则此两点皆与奇数条线相连（故皆为奇点）。因此，可以一笔画出的图形，其奇点数必为0或2。现在图中，共有A,B,C,D 4个点，其中A,B,C分别与3条线相连， D与5条线相连。由于4点均为奇点，因此一笔画出此图形是不可能的，也就是想不重复地通过 哥尼斯堡的7座桥是不可能的。我们看到欧拉将一实际问题抽象化，虽然看不到河也看不到桥，但结果不但解 决了原来的问题，连更一般的问题也一并解决了。补充一点，上面这个答案尚不完整，这里还有一个从哪里开始画的问题。从上 面的介绍中可以得到，凡奇点数为2的一笔画，图形必须以一个奇点作为起点，另一个奇点作为终点。
