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1、第4章 随机变量的数字特征习题 41 设，求。解：X的概率密度为 2设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n（假定nN-M）件，记这n件中所含次品数为X，求E（X）。 解：由题意可知为超几何分布 X012Min(n,M)P 3设的概率密度为 ，其中为常数，且。求的值。 解：由题意得 解得 4. 某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U1000,2000。购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售出，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。 解：设购进y千克苹果，获利Q(y) X
2、的概率密度为 Q是随机变量，它是X的函数，其数学期望是 令E(Q)的导数为0，得y=1833.33 即y=1833.33时，E(Q)取得最大值，此时获利最大。5某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值10元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元。某件表面疵点数是4个以上者为废品，求产品价值的均值和方差。 解：设x表示产品的瑕疵点，y表示商品的价值，可得 Py=10=PX1= Px=0+ Px=1=0.8088 Py=8=P1X4= Px=2+ Px=3= Px=4=0.1898Py=1=P4X=1- P X4 =0.0
3、.0014 产品的均值为 E(Y)=100.8088+80.1898+10.0014=9.6078（元） E(Y2)=1000.8088+640.1898+10.0014=93.0286（元） 方差为 D(Y)= E(Y2)-E(Y)2=0.7188 （本题请参考书本61页例3）6设(X,Y)在圆域上服从均匀分布，判断X,Y是否不相关。并求。 解：（X,Y）的概率密度为 边缘概率密度为 得所以X,Y不相关。7按规定，某车站每天8:009:00和9:0010:00之间都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律如下表所示8:009:00到站时间8:108:30
4、8:509:0010:00到站时间9:109:309:50概率1/63/62/6某一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望。 解：设旅客候车时间为X，则X的分布律为 X1030507090P 平均时间为 8某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为(以年计), 规定：设电器的寿命服从指数分布, 概率密度为 试求该商店一台电器收费的数学期望. 解：先求出寿命X落在各个区间的概率 一台收费Y的分布律为Y1500200025003000 P0.09520.08610.07790.7408 得E(Y)=2732.15,即平均一台收费2732.159随机变量 且 求a与b的值, 并求分布函数. 解：由题意可得得 综上所述，得X的分布函数为 10有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从统一指数分布，其概率密度为 ,若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命(以小时计)的数学期望。 解：的分布函数为 其中的分布函数为因而的概率密度为 于是的数学期望为11设随机变量X和Y在圆区域上服从均匀分布，求（1）X和Y的相关系数；（2）X和Y是否相对独立？ 解：（1）（X,Y）的概率密度为 边缘概率密度为 得所以（2）由（1）可得 所以X,Y不独立。
