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1、 勾股定理 江西省井冈山市拿山中学 陈独鹏【教学目标】 知识与技能 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的运用思想，发展几何思维 过程与方法：经历用数学格子的方法探索发现直角三角形三边关系的过程，体会数学的严谨性，发展形象思维，培养主动探究的习惯，体会数形结合的思想。在探究活动中学会与他人交流思维的过程和结果。 情感态度与价值观： 通过介绍勾股定理的历史，让学生感受数学文化，激发学习热情，并在探究勾股定理的过程中体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，体验解决问题方法的多样性，培养创新精神。 【重点】勾股定理的猜想与验证的过程。【难点】理解勾股定理的推导过程。【教学准备】 制作Flas
2、h课件，拼图的纸片【教学方法】 本节课运用的教学方法是“启发探索”式，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，达到收获的目的【教学思路】 通过创设问题情境，激发学生的求知欲；在探究新知的活动中培养学生观察和分析问题的能力；通过学生得出猜想，培养学生的表达能力和初步的体验成功之感；通过对猜想的验证，培养学生的动手操作的能力和体会数形结合的思想和激发他们的探索精神；通过练习的反馈作用再次让学生体验成功的快乐。利用小结与作业，稳定学生兴趣并为学生的课外学习留下空
3、间。【教学过程】一、创设问题情境，引入新课活动1：展开游戏： 请同学们在方格纸上画好任意的直角三角形，并量好各边的长。教师让学生说出自己画好的直角三角形的两条直角边的长度，而后教师利用电脑演示输入两条直角边长的值并利用课件计算出斜边的长，并将计算结果与学生测量的结果进行比较。设计意图：运用游戏设置悬念，激发学生好奇、探究和主动学习的欲望。二、师生互动，探究新知活动2：故事引入：利用课件介绍“勾股定理之父毕达哥拉斯的故事”在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说。毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽
4、的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。请同学们一起来观察当时地面上图案。教师活动：教师提问：同学们，你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：右边的三个正方形中两个蓝色的小正方形的面积之和等于一个大的红色的正方形的面积，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。 师生一起小结：从下图我们发现
5、，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质，但是等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？请同学们观察图，设定每个小方格的面积均为1，（1）分别计算图中正方形A、B、C、A、B、C的面积；（2）观察其中的规律，你能得出什么结论？与同伴交流。学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看法提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。设计意图：通过故事情境引入，使学生感受到古代文明的成就在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的哲理，并
6、对学生进行一种特殊的教育。同时通过面积计算培养学生的解决问题的能力和探索精神。活动3：小结归纳，得出猜想学生活动得出猜想：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。（命题1）设计意图：通过这次活动为学生搭建一个展现自我、创造自我的平台，不仅能让学生自由地表达自己的发现，更有利于实现学生由数到形的过渡，同时对培养学生的情感与态度有着积极的意义。活动4：验证猜想，揭示定理我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，下面我们大家动手一起来完成下列问题：在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，把它们剪下来 (2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个如图
7、(5)的图形你能利用这个图证明刚才的猜想吗？提示：用两种方法表示大正方形的面积分别为(ab)2或4abc2，由此可得(ab)24abc2化简得a2b2c2由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在ABC中若C=900 则有a2b2c2老师活动：向学生介绍直角三角形中较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”。师生一起写出勾股定理的几种变式：(1)c= (2) b2=c2-a2 (3)b=(4)a2c2-b2 (5) a=设计意图：让学生通过拼图计算面积的方法证明直角三角形
8、的三边关系，培养学生的动手操作能力、计算能力和创新意识教师活动：解释游戏时电脑能根据直角三角形两条直角边的长度计算斜边的长的原理，使学生茅塞顿开。三、练习反馈，体验成功（1）已知在等腰直角三角形中，直角边长是3，则斜边长是 ；（2）ABC中，C=900，B=300，AB=6，则AC= ，CB= ；（3）等边三角形的边长是4，则它的高是 ，面积是 。（4）如果直角三角形的斜边与一条直角边长分别为n2+1，2n（n1），那么它的另一条直角边长是（） A、2nB、n+1C、n21D、n2+1师生活动：学生独立完成，教师巡视，并对有困难的学生进行辅导，并派中等程度学生演板。设计意图：通过习题加深对勾股
9、定理的理解，同时培养学生的计算能力，提高学生运用定理解决问题的能力。四、课堂小结，布置作业师生活动：教师引导学生从多方面谈本节课的体会，在学生交流过后教师在向学生补充人类对勾股定理的研究已有几年多年，并且还在继续，对于勾股定理的证明目前已有几百种，而我国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范，有着科学创
10、新的重大意义。这个“勾股圆方图”被选为2002年国际数学家大会的会徽。课后大家阅读课本 “勾股定理的证明”并试着根据图形证明勾股定理。设计意图：通过小结为学生提供一个合作交流的平台，再次从过程与情感方面关注学生对整节课的理解，让他们在轻松愉快的氛围中感悟收获。通过赵爽的“勾股圆方图”的介绍，激发学生兴趣，同时又将本课知识自然地向课外延伸，为学生创造继续学习的空间。【教学设计理念】：本节课以“问题情境分析探究得出猜想实践验证巩固应用总结升华”为主线，调动学生的学习热情，向学生提供数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流中真正的理解和掌握数学知识与技能，数学思想和方法获取广泛的数学活动的经验。
