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1、含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按项的系数的符号分类，即;例1 解不等式： 分析：本题二次项系数含有参数，故只需对二次项系数进行分类讨论。 解：解得方程 两根当时,解集为当时，不等式为,解集为当时, 解集为 例2 解不等式分析 因为，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 当时，解集为；当时，解集为二、按判别式的符号分类，即；例3 解不等式分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解： 当即时，解集为；当即0时，解集为；当或即,此时两根分别为，显然, 不等式的解集为 例4
2、解不等式 解 因，所以当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为R。三、按方程的根的大小来分类，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：，令，可得：，当或时， ，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；当或时, ,解集为。例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.解 原不等式可化为：，对应方程的两根为 ，当时，即，解集为；当时，即，解集为一元二次不等式 参考例题（2）1(1)解不等式 （） (2)不等式的解集为，求的值. （）2解下列关于的不等式： （1） （2） （3）
3、 （4） （5） （6） 3（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（） （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）4（1）已知， 若，求实数的取值范围.；（）若，求实数的取值范围.；（）若为仅含有一个元素的集合，求的值.（） （2）已知，求实数的取值范围. （） (3) 关于的不等式与的解集依次为与，若，求实数的取值范围. （） （4）设全集，集合，若，求实数的取值范围. （）（5）已知全集，若，求实数的取值范围.（ ） 一元二次不等式及其解法1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：（一般式）；（零点式）；（顶点式）3一元二次不等式
4、的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 4解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=0(或0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集5讨论二次函数在指定区间上的最值问题：(1)注意对称轴与区间的相对位置一般分为三种情况讨论，即：对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；对称轴在区间之内；对称轴在区间右边（2）函数在区间上的单调性要注意系数的符号对抛物线开口的影响6二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对
5、称轴与区间的相对位置三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1 函数是单调函数的充要条件是（ ）A B C D解：函数的对称轴为，函数）是单调函数，故选A归纳小结：二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围例2 已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析解：二次函数的对称轴为，可设所求函数为，截轴上的弦长为，过点和，又过点，解之得，归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化题型2：简单不等式的求解问题例3 求下列不等式的解集（1）；（2）解
6、法一：因为所以，原不等式的解集是解法二：整理，得因为无实数解，所以不等式的解集是从而，原不等式的解集是归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察例4 不等式的解集为，求与的值解法一：设的两根为、，由韦达定理得： 由题意得，此时满足，解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，的两根为，在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系题型3：含参不等式的求解问题例5 解关于的不等式证：分以下情况讨论(1)当时，
7、原不等式变为：，即不等式的解集为(2)当时，原不等式变为： 当时，式变为，不等式的解为或即不等式的解集为；当时，式变为，当时，此时的解为即不等式的解集为；当时，此时的解为当时，即不等式的解集为归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解题型4：一元二次不等式的应用例6 （1）（2008天津卷理）已知函数，则不等式的解集是（ ）A BC D解：依题意得所以，选C（2）（2007重庆理）若函数f(x) =的定
8、义域为R，则a的取值范围为_解：函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，故选A归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一例7 已知函数的最大值为，求的值解：令，对称轴为，当，即时，得或（舍去）当，即时，函数在上单调递增，由，得；当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）综上可得，的值为或归纳小结：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就
9、可求得的值此题中要注意的条件例8 设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？解：有两种情况：其一是=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围设，有=，当0时，12，=；当=0时，=1或2；当=1时=；当=2时，=当0时，a1或a2设方程的两根，且，那么M=，M1x1x24，即解得2，M1，4时，的取值范围是(1，)一元二次不等式解法应试能力测试1不等式的解集是( )A B C D2设集合Mx|0x2，则有MN( )Ax|0x1 Bx|0x2 Cx|0x1 Dx|0x23对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A1a0 B1a0 C1a0 D1a04不等式的解
10、集为( )Ax|2x2 Bx|x2或x2 Cx|2x2或x6 Dx|x25已知，则AB的非空真子集个数为( )A2 B3 C7 D86已知，且ABR，ABx|3x4，则p、q的值为( )Ap3，q4 Bp3，q4 Cp3，q4 Dp3，q47若关于x的二次不等式的解集是x|7x1，则实数m的值是( )A1 B2 C3 D48不等式ax0 Ca0且b0 Db0且a0)的解集是_1 为使周长为20cm的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？2 解不等式3解关于x的不等式(a0)4 k为何值时，关于x的不等式对一切实数x恒成立参考答案一、1D 2B 3C 4C 5A 提示：因为AB3，46A 提示：因Bx|x3，由已知得Ax|1x41，4是的两根，p3，q47C 8A，提示：因的解为，只有a0且b0时，axb解为二、1x5 提示：原不等式化为，|x|52x|32，1a2 ，提示：Ax|1x2，Bx|(x1)(xa)0，a24x|xa，提示：原不等式可化为(ax)(xb)0，ab0，ab，xa或xb三、1设长方形较短边长为x cm，则其邻边长(10x)cm，显然0x0时，不等式化为，即解得： 3原不等式化为(ax2)(x2)0 ，a0，当a1时，x|xR且x2，当a1时：若a1，则，若0a1，则，4恒正，不等式化为，即恒成立，1k
