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1、1.(北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学)已知椭圆C:2 2笃与=1(a b 0)，左焦点a bL.3F(-、. 3,0)，且离心率e 32(I)求椭圆C的方程;(n )若直线I : y =kx m(k = 0)与椭圆C交于不同的两点 M , N ( M , N不是左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆 C的右顶点A.求证：直线I过定点，并求出定 点的坐标.c = V3【答案】(I)由题意可知：=i分a2a 2=b2 +c2解得 a = 2, b = 1.2 分2所以椭圆的方程为：x+ y2=13分42x2丄(II )证明：由方程组 4+ y =1得(1+4k2)x22+
2、 8kmx + 4m -4=0 4y =kx + m分2 2 2江=(8km) -4(1 4k )(4m -4)0整理得 4k2 -m2 1 0 .5 分设 M(X1X), Ngyz)8km21 4k,X1X24m2 -421 4k.6分由已知，AM AN且椭圆的右顶点为 A(2,0)7分(% -2)(X2 -2)yy =02 2y1 y2 = (kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 km(x-) x2) m即(1k )x2 (km - 2)(捲 x2) m 4 = 022 4m -4-8km 2也即(1k)亍(km -2)2 m 4=010分1 +4k1 +4k22整理得：5m 16
3、mk 12k =011分6k22解得m = -2 k或m均满足4k - m 10125分当 m二-2k时，直线的I方程为y = kx-2k，过定点(2, 0)与题意矛盾舍去13分6k、66当m时，直线的|方程为y = k(x ),过定点(一,0)故直线I过定点，且定点的坐标为(E,0)5.142.(昌平区2015届高三上学期期末)已知椭圆2 2C ：$ 爲=1(a b 0) a b,经过点 P(1,，离心率是一.(|)求椭圆C的方程;2(II)设直线I与椭圆C交于A,B两点，且以 直线l恒过定点.AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证:解：(I)由二二2 =34b2-2aa2 二 b2c2，解得a
4、 =2,lb=15552所以椭圆C的方程是x 2彳 y 1 .4(II)方法(1)由题意可知，直线I的斜率为0时，不合题意不妨设直线I的方程为x =ky m .x =ky m由x224 y分消去 x 得(k2 - 4)y2 - 2kmy m2 _4 =0设 Ag,%) , B(X2,y2)，则有 - y?|巴k +42 /m -4y1y22k +4因为以AB为直径的圆过点 M，所以MA MB =0 由 MA=(石2,yJ,MB=(x-2,y2)，得(为-2)化-2)yy=0 将 捲 =ky1 m, x2 = ky2 - m 代入上式,得(k2 1)yiy2 k(m_2)(yi - y2) (m
5、_2)2=012将代入，得25m -16m 12 = 0k2 4解得吨或论2(舍)综上，直线I经过定点(,0).514分方法二证明: (1)当k不存在时，易得此直线恒过点(6 ,0).5(2)当 k 存在时.设直线 l 的方程为 y 二 kx m , A(x1, y-i), B(x2, y2) , M (2,0).x2y2 = 1222由 4，可得(4k2 1)x2 8kmx 4m2-12=0.:y 二 kx m2 2注-16(4k -m 1)0-8km% X22,4k2 14 m2 -4X1X21 2 4k2 1由题意可知MA MB =0,MA =化 - 2, yj, MB 二区 - 2,山
6、y1 = kx1 m, y2 = kx2 m.10分可(论 -2)(X2 -2) y2 = 0.整理得(km -2)(xx2) (k2 1)x1x2 4 m 0 把代入整理得述 +1乎5+卅 =04k +12 2由题意可知 12k 16km 5m =0,解得 m=-2k,m = -6k.5(i )当m - -2k时，即y =k(x -2)，直线过定点2,0)不符合题意，舍掉12y =k(x -一)，直线过定点5(6 ,0)，经检验符合题意54 分综上所述，直线I过定点(6,0)3.(2011昌平二模理18).(本小题满分14分)已知椭圆C:2 2笃 与=1(a b 0)，左焦点F(73,0)，
7、且离心率e-a2 b22(I)求椭圆C的方程；(n )若直线I : y =kx m(k = 0)与椭圆C交于不同的两点 M,N ( M, N不是左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆 C的右顶点A.求证：直线l过定点，并求出定点的坐标解：(I)由题意可知:2 a=b2c22所以椭圆的方程为： y1(II)证明：由方程组y = kx m42 2 2得(1 +4k )x 十8km才4m 4 = 0 .4 分 ；. =(8km)2 -4(1 4k2)(4m2 -4)0：5分整理得4k2 - m210设 M (咅兀)，N(x2, y2)28km4m -4：6分贝U x-i x22 ,x1x221 4
8、k21 4k2由已知，AM _AN且椭圆的右顶点为 A(2,0)T分.(Xi -2)(X2 -2)yy =02 2y1 y2 = (kx1m)( kx2 m) = k x1 x2km(x1 x2) m即(1 k2)x1 x2 (k -2)(x1 x2) m2 4=0也即(1 k2) 4m2 -421 4k(km -2) *-8km21 4k10分整理得：5m2 16mk 12k2 =011分6 k2212分13分解得m二-2k或 m均满足4k -m 105m = -2k时，直线的I方程为y = kx - 2k，过定点(2, 0)与题意矛盾舍去6k|.6月 c、m时，直线的I方程为y =k(x)
9、，过定点(,0)555故直线I过定点，且定点的坐标为 (一,0)5x2y24. (2013届房山区一模文科数学)已知椭圆C :1和点P(4,0),垂直于x轴的直线43与椭圆C交于A,B两点，连结PB交椭圆C于另一点E .(I )求椭圆C的焦点坐标和离心率；(n)证明直线 AE与x轴相交于定点.(I )由题意知：a2 =4, b2 =3,所以 c2=a2-b2=1c 1所以，焦点坐标为(一1,0);离心率e = -a 2(n )由题意知：直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)B(X1, %) , Eg, y2),则 A% -yj , y = k(x -4)+2 222由3x2 4
10、y2=12 得(3+4k)x -32kx 64k -10贝 y x-i +x2 =32 k23+4k2x1x2=264k -123+4 k2(1)直线AE的方程为y y2二+ (x x2), X? X-令 y=0,得 x=x2 _%(冷 _Xi)y-+y22x-X2 4(X- +X2)又 y-=k(Xi -4) , y2=k(X2-4)代入 式，得x= -(3)x-i +x2 _ 8把(1)代入式，整理得x=1所以直线AE与x轴相交于定点(1,0)5.( 2011海淀期末文科)(本小题满分14分)已知圆O : x2 y2 = 4,点P为直线丨：x = 4上的动点.(I)若从P到圆O的切线长为2
11、.-3，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；(II)若点A(-2,0), B(2,0)，直线PA, PB与圆O的另一个交点分别为M , N ,求证：直线MN经过定点(1,0)6.(2011石景山期末文科)已知椭圆 C中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为2,短轴长 为 2 3 .(I)求椭圆C的标准方程；(n)若直线I : y =kx m k = 0与椭圆交于不同的两点 M、N ( M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A .求证：直线I过定点，并求出定点的坐标.2 2x y7. (2012年东城区高三期末考试文19)已知椭圆 2 1 a b 0的左、右焦点分a b别为F
12、1, F2 ,点M 0,2是椭圆的一个顶点， F1MF2是等腰直角三角形.(I)求椭 圆的方程；(n)过点 M分别作直线 MA , MB交椭圆于A , B两点，设两直线的斜率分别为k1解：（1,k2，且kk2=8，证明：直线 AB过定点（，-2）.2I）由已知可得b = 2, a? = 2b = 8 ,2 2所求椭圆方程为-y 1 .5分84）若直线 AB的斜率存在，设 AB方程为y = kx m，依题意m =二2 .设 A(xi，yi) , BMy),2 2x y由 S T 得 1 2k2 x2 4kmx 2m2-8 = 0.7 分y = kx m,2则4km2m -8贝U x1 x22 ,
13、 x1x221 2k1 2k由已知口心2 =8为x2所以kx1_皿 空j=8,x1X2即 2k m -2 x1 x2 =8.10 分X1X2mk1所以k4，整理得 m k-2 .m+2211故直线AB的方程为y=kx k-2，即y = k （ x ） - 2 .22112分所以直线AB过定点（，-2）.2若直线AB的斜率不存在，设 AB方程为x =沧, 设 A(xo,y), B(xo,-y),由已知址Z 二,xXo111得x0.此时AB方程为x，显然过点（，-2）.2221综上，直线 AB过定点（，-2）.13分21.(朝阳区2015届高三上学期期末)已知椭圆 C:笃爲=1(a b 0)过点(1,),a b2离心率为_3 .过椭圆右顶点 A的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆 C于M,N两点.4(I)求椭圆C的标准方程；(n)直线 MN是否过定点D ?若过定点 D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由.；=丁a2 =4
