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1、初三数学同步辅导教材（第16讲）一、教学内容本周主要学习7.12 解决和圆有关的比例线段二、重点、难点剖析1.和圆有关的比例线段是学习的重要内容理解、掌握好相交弦定理、切割线定理是基本要求运用定理解决一些有关的计算、证明问题又是考查的主要目标和圆有关的比例线段的几个定理及推论，都是通过相似三角形的判定而获得的，如切割线定理，如图，PA切O于点A，割线PBC交O于B、C则PA2PB Z PC. 显然，易证得PABPCA则，即 PA2PB Z PC.这里值得提醒大家，学习中既要懂得定理产生的过程，又要注意在应用时不要再去判定相似，而是可以直接使用定理2.学会用运动的观点看问题，体会特殊和一般的关系
2、，提高认识问题的能力从相交弦定理到切割线定理（以及它们的推论）充满着点的运动、特殊与一般的丰富内容相交弦定理若O的两条弦AB、CD相交于点P.则 PA Z PBPC Z PD.若AB是O的直径（特殊的弦），弦CDAB于点P（特殊的位置）则 PA Z PBPC Z PDPC2.当圆的两条弦所在的直线相交于圆外一点P，则PA Z PBPC Z PD仍然成立.易证 PADPCB，则 ，即 PA Z PBPC Z PD.若是割线PBA与O的两个交点A、B在O上逐渐靠拢，并重合时，则得PA Z PBPC Z PD PA2PC Z PD（切割线定理）若是割线PDC的C、D两点也是如此运动，则PA2PC Z
3、 PDPC 2 PAPC（切线长定理）弄清定理间的相互关系，对于理解、掌握并应用它们解决问题是十分有益，在学习和研究中一定要注意：(1)两条弦（或延长线）及交点首先要确定；(2)由这个交点引出的四条线段要确定，因为所有定理或推论都是这四条线段间的关系3.我们知道，直径也是弦，而且它具备特殊性；在从圆外一点引圆的无数条割线中，过圆心的一条割线是唯一的，也是特殊的，解题时对此要引起重视例 已知：P是O外的一点，PAB是不经过圆心O的一条割线，PO交O于点，O的半径为r，OPd，则PA Z PB等于（ ）.dZ(dr) . dZ(dr) .d 2r 2 .d 2r 2解 延长PC交O于点D, 则 P
4、A Z PBPC Z PD. OCODr,OPd， PCdr，PDdr则PA Z PD(dr) Z (dr)d 2r 2.选三、典型题例例 O的AB、CD两弦相交于点P.(1) 若PA7，PB6，PC5，则CD；(2) 若AB9，CD6，PA8，则PC；(3) 若AB12，PA4，PCPD，则PC；(4) 若PAPB4，PCPD，则CD解 (1) PA Z PBPC Z PD PD8.4 则 CDPCPD13.4(2) AB9，PA8，PB1. 又CD6，PD6PC. 则 PC Z (6PC)8Z1，PC2或4.(3) AB12，PA4， PB8. 则PC2124，PC4（舍去负值）(4) 设
5、PCx，则PD4x. x Z 4x4 Z 4，x2， 则 CDPCPD5x10.说明 (1)为了解题时避免失误，应画个草图，对照条件中的线段，正确使用定理；(2)由于相交弦定理的表达形式是等式，因此解这类题时常设未知数，以建立方程进 行求解；(3)注意区分所求的结论是弦长还是弦的一部分的长例 如图，已知：PA、PC是O的切线，A、C为切点，割线PDB交O于点D、B.求证：AB Z CDAD Z BC.分析 从条件知，PAPC，PADPBA，PCDPBC；由结论知，欲证AB Z CDAD Z BC，即证.因此，可以用“做做比比”的方法证得结论证明 PABPDA（想一想，为什么？） .又 PBCP
6、CD .（这就是从结论的要求，结合条件去做做）又 PAPC（想一想，又为什么？） 则 （比比后得出结论）即 AB Z CDAD Z BC例 如图，已知：O的弦CD垂直于直径AB，垂足为M，E是O上一点，过E点的切线交CD的延长线于点P，BE交CD于点F求证：PF 2PD Z PC. 证明 PE为切线，PDC为割线， 由切割线定理得PE 2PD Z PC.连结AE. AB为直径， A90oB.又 ABCD， PFEMFB90oB. APEF，APFE， PEFPFE，PEPF.则 PF2PD Z PC.说明 解决圆的有关问题，常需要把圆的知识结合起来，如这道题从切割线定理开始，联系到直径所对的圆
7、周角是直径、弦切角定理等例 如图，已知BC为O的弦，延长CB到P，使BC3BP，PA切O于点A，N为PC的中点，AN的延长线交O于点M. 求证 (1)PC2PA；(2)MB2MN Z MA.证明 (1) 由切割线定理得 PA2PB Z PC PBBCPC PA2PC2则 PAPC，即PC2PA.(2) 连结AB、CM. PAPC，PNPC， PANPNA.又 MNB180oPNA，ABM180oACM180oPAN，MNBABM.则 ABMBNM，即 MB2MN Z AM.例 A、B是O上的两点，过点B作O的切线BT，D是AB上的一点，且DABOAB，AB的延长线交BT于点C，BC4cm，CD
8、2cm求AB的长证法 连结OB，则OBCT. OABOBABAC， ACOB，则ACCT.由切割线定理得BC2CD Z AC，则AC8(cm).在RtABC中，由勾股定理得AB4(cm).证法延长AO交O于点E，连结BE. AE为直径， ABE90o.E又 BACBAE，ABCE，CABE90o.（以下证法同证法）说明 解题时善于从不同角度获取信息，既有助于巩固基础知识的学习，又可以活跃思维，提高能力.例 如图，DA切O于点A，割线DCB交O于点C、B求证：.分析 从结论考虑，()2是ACD与BAD的相似比的平方；而又是这两个同高的三角形的底的比，因此容易想到选择通过面积的方法去解决证明 设ACD的面积为S1，ABD的面积为S2 ACDBAD，()2.（相似三角形面积的比等于相似比的平方）又 （同高的两三角形面积的比等于底的比）则 6
