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1、精品学习资料整理精品学习资料整理精品学习资料整理四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP
2、|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0,0，02.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为柱坐标与直角坐标的互相转化例1(1)设点A的直角坐标为(1，5)，求它的柱坐标(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标思路点拨直接利用公式求解解(1)由变换公式即212()24，2.tan
3、，又x0，y0，点A在第一象限，点A的柱坐标为.(2)由变换公式得：x4cos 2，y4sin2，z8.点P的直角坐标为(2,2，8)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(，z)，代入变换公式求，也可利用2x2y2，求.利用tan 求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标解： 1.x0，y0，.点M的柱坐标为.2已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标解：由变换公式得x2cos0，y2sin2，故点N的直角坐标为(0,2,3).球坐标与直角坐标的互相转化例2(1)已知点P的球坐标为求它的直角坐标
4、(2)已知点M的直角坐标为(2，2，2)，求它的球坐标思路点拨直接套用坐标变换公式求解解(1)由变换公式得：xrsin cos 4sin cos 2.yrsin sin 4sinsin2.zrcos 4cos2.故其直角坐标为(2,2，2)(2)由坐标变换公式，可得r4.由rcos z2，得cos ，.又tan 1，(M在第三象限)，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos 来求要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的位置.3求下列各点的直角坐标：(1)M；(2)N.解：(1)由变换
5、公式得：xrsin cos 2sincos，yrsin sin 2sinsin，zrcos 2cos.故其直角坐标是.(2)由变换公式得：xrsin cos 2sincos.yrsin sin 2sinsin.zrcos 2cos.故其直角坐标为.4求下列各点的球坐标：(1)M(1，2)；(2)N(1,1，)解：(1)由变换公式得：r2.由zrcos 得cos .，又tan ，x0，y0，它的球坐标为.(2)由变换公式得：r2.由zrcos 得：cos .又tan 1.x0，y0.它的球坐标为.一、选择题1在球坐标系中，方程r2表示空间的()A球B球面C圆 D直线解析：r2，表示空间的点到原点
6、的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面答案：B2点P的柱坐标是，则其直角坐标为()A(2，2，3) B(2，2，3)C(2，2，3) D(2，2，3)解析：xcos 4cos2，ysin 4sin2，故其直角坐标为(2，2，3)答案：C3设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为()A. B.C. D.解析：由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1，x0，y0，.M的球坐标为.答案：B4在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为()A. B.C. D.解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(1，1,1)，它的柱坐标为.答案：C二、填空题5点P的柱坐标为，则点P到原点
7、的距离为_解析：xcos 4cos 2，ysin 4sin2.即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为5.答案：56已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则tan _，tan _.解析：如图所示，tan ，tan 2.答案：27在球坐标系中A和B的距离为_解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，B(1,1，)|AB|2.答案：2三、解答题8设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标解：由坐标变换公式，可得，tan 1，(点(1,1)在平面xOy的第一象限)r2.由rcos z(0)，得cos ，.所以点M的柱坐标为，球坐标为.9设地球的半径为R，
8、在球坐标系中，点A的坐标为(R,45，70)，点B的坐标为(R,45，160)，求A，B两点间的球面距离解：设纬度圈的圆心为O，地球球心为O，如图，OAOBR，由点A，B的球坐标可知，BOO45，AOO45，这两个点都在北纬904545圈上则xOQ70，xOH160，AOB1607090.OBR，OBOAR，ABR.则AOBOABR.AOB60，2RR.即A，B两点间的球面距离为R.10.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标解：点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中0，r0,0，02，由坐标变换公式且得且得且结合图形，得，由cos 得tan .所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为，其中tan ，0.最新精品资料
