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1、数学物理方法总结第一章 复变函数 复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:和欧拉公式:柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件): (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv在点及其领域上处处可导,则称f(z)在点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则 (为常数)是B上的两组正交曲线族. 2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即 例题: 已知某解析函数f(z)的实部,求虚部和这个解析函数.解答: 由于=2;=-2;则曲线积分法 =2x;=-2y.根据C-R条件有:=2y;=2x.
2、于是 ;凑全微分显式法 由上式可知 则易得 则显然 不定积分法 上面已有 =2y;=2x 则第一式对y积分,x视为参数,有 . 上式对x求导有 ,而由C-R条件可知 , 从而 .故 v=2xy+C. 第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域上解析,则沿上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是的边界),有.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则 .式中l为区域外边界线,诸为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即 .柯西公式 n次求导后的柯西公式 第三章 幂级数展开幂级数 其中,都是复常数.比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有则
3、收敛,绝对收敛.若极限存在,则可引入记号R,于是,若,则绝对收敛.2.若,则后项与前项的模之比的极限 ,即说明 发散.例题: 求幂级数的收敛圆,z为复变数.解答: 由题意可得 故 ().泰勒级数展开 设f(z)在以为圆心的圆内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数,其中,为圆内包含z且与同心的圆. 例题: 在的领域上将展开 解答: 函数的各阶导数,而. 则在的领域上的泰勒展开 . 双边幂级数 洛朗级数展开 设f(z)在环形区域的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数.其中 ,积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线. 例题1: 在的环域上将展为洛朗级
4、数. 解答: 例题2: 在的领域上将展为洛朗级数. 解答: 由题意得 则有z-1的-1次项,而 () 故 .第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点,解析,在闭区域上除, 外连续,则 . 其中,.推论1: 单极点的留数为.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在点解析,是Q(z)的一阶零点().,则 . 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用类型一 .作自变量代换 .则式子变为. 例题: 计算 . 解答: , Z的单极点为. 则, 由于不在圆内.故 . 类型二 .积分区间是;复变函数f(z)在实轴上没有奇点
5、,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面及实轴上时,zf(z)一致地.则式子可以变为 f(z)在上半平面所有奇点的留数之和. 例题: 计算 . 解答: 的单极点为. ,故. 类型三 ,积分区间是;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面或实轴上,F(z)及G(z)一致地.则式子可以变为 ; . 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有 . 其中,在类型三中f(x)应理解为或.第五章 Fourier变换傅里叶级数 周期为2l的函数f(x)可以展开为级数 . 其中, =.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可.复数形式的
6、傅里叶级数 其中 .傅里叶积分 傅里叶变换式 复数形式的傅里叶积分 傅里叶变换的性质(1) 导数定理 Ff(x)=iwF(w)(2) 积分定理 F=(3) 相似性定理 Ff(ax)=(4) 延迟定理 F=(5) 位移定理 F=(6) 卷积定理 若F=,F=,则 F*=. 其中称为和的卷积.函数.函数的一些性质1. 是偶函数.2. .3.第六章 Laplace变换拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的一些性质(1) 线性定理 若,则 .(2) 导数定理 .(3) 积分定理 L.(4) 相似性定理 .(5) 位移定理 .(6) 延迟定理 .(7) 卷积定理 若,则 , 其中称为和的卷积.第七章 数学物理定解
7、问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为或或.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为或.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程).(4) 以上方程中意为,意为.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” , 初始”速度” .边界条件 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 衔接条件 .(T为张力)达朗贝尔公式 定界问题达朗贝尔公式 . 其中,.第八章 分离变数法泛定方程 (若该方程可以使用分离变量法,则可以化成).在不同
8、的边界条件下解不同.边界条件(1) , X(x)的解为 其中 n=1,2,3(2) , X(x)的解为 其中 k=0,1,2(3) , X(x)的解为 其中 k=0,1,2(4) , X(x)的解为 其中 n=0,1,2T(t)的方程在有n且n=0时的解为 ;在时的解为;在有k的情况下为.初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 . 解法为做代换.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 (1) 球坐标系下 .分解为 其解为 .和 (球方程,)球方程又可以分离为 其中有 ,其方程解为 其中 m=0,1,2和 (连带勒让德
9、方程).(2) 柱坐标系下 .分解为 其中有 ,其方程解为 其中 m=0,1,2和 和 .当时,Z=C+Dz,;当时,方程R转换为(,m阶贝塞尔方程). 当时,方程R转换为 (,m阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 . 在的领域上l阶勒让德方程的解为 其中 第十章 球函数高次项的系数 (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为,则 .则勒让德多项式为 .=.勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间-1,1上把f(x)=展开为广义傅里叶级数.解答: = = 则有 , , , . 故有=.例题2: 在半径的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件.解答: 边界条件与无关,故选择球坐标,则有 . 又有自然边界条件 故.则有 . 而,则 .
