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1、第十章 机械振动一. 选择题:【 C 】1、（基础训练3）一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图13-16所示），作成一复摆已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量，此摆作微小振动的周期为 (A) . (B) . (C) . (D) . 提示：均匀的细棒一段悬挂，构成一个复摆，可根据复摆的振动方程求解办法，求出复摆的振动周期。【 C 】2（基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这
2、段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为，对应的时间为T/6.x t O A/2 -A x1x2 B 3（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) (B) (C) (D) 0提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为,初相位为图13-23【 B 】 4、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示则振动周期是 (A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s 提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为，到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为，此过程经历时间为1s
3、，可得，等到周期为2.4s图13-24【 C 】 5、（自测提高6）如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 12 (B) 12 (C) 12 (D) 121/4 提示：劲度系数为k的轻弹簧截成二等份，每份的劲度系数为变为2k，并联后系统的劲度系数为4k.【 D 】6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为则该物体在t = 0时刻的动能与t = T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为： (A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E)
4、 4:1提示：t=0时，物体正好处于平衡位置，动能最大，t = T/8时，, 此时系统的动能和势能相等，为动能最大值的一半。图13-20二 填空题1、(基础训练10) 已知两个简谐振动的振动曲线如图13-20所示两简谐振动的最大速率之比为_1：1_ 提示：最大速率为，分析这两个振动的角速度与振幅的关系即可。2、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零在0t范围内，系统在t =_T/8_时刻动能和势能相等 提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的，相位为，因为初始相位为零，t=T/83、(基础训练16) 两个同方向同频率
5、的简谐振动，其振动表达式分别为： (SI) ， (SI) 它们的合振动的振辐为(SI),初相为108.40 提示：用旋转矢量图示法求解4、 (自测提高 8) 在静止的升降机中，长度为l的单摆的振动周期为T0当升降机以加速度竖直下降时，摆的振动周期提示：当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为g-a=0.5g;单摆的周期变为:图13-265、(自测提高 11) 一单摆的悬线长l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉，如图13-26所示设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为_0.837_ 提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：，对于单摆，图13
6、-276 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示由图可知x方向和y方向两振动的频率之比nx:ny =_4:3_ 提示：在同样的时间间隔内，X方向的振动为2Tx，而y方向的振动为1.5Ty,周期之比为3：4，频率之比相反为4：3三 计算题1. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位)如下： (1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动，问为何值时，的振幅为最大；为何值时，的振幅为最小。解：（1）合成振动的振幅：初相位：84.80(2) 若另有一振动，振幅最大，需要振动的初相位相同，所以，的振幅最小，需要初相位相差180
7、0，这时2（自测提高17）、一质量m = 0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 Nm-1 (1) 求振动的周期T和角频率w (2) 如果振幅A =15 cm，t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相f (3) 写出振动的数值表达式解：（1）弹簧振子的S（2）振动表达式： t=0时，x=0.075且vx0, , t=0时，（3）振动表达式 3（自测提高18）、一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为 n ，物体与板面间的最大静摩擦系数为m。求：物体在板上不致滑动时振幅的最大值。解：设
8、振动方程： 要使在板上的物块不滑动，最大静摩擦力正好提供加速度，有：4（自测提高22）、为了使单摆的振动周期在高度H处和地球表面上相等，其长度须减少多少？设地球表面处摆长为l0，地球半径为R，且H R。 解：长度为l0的单摆在地球表面的振动周期为 1分此处为地球表面处的重力加速度（M为地球质量G为引力常量），在高H处重力加速度，而长度为l的单摆的振动周期为： 1分已知 T = T0即 l0/g0 = l/g 将g0 及g代入 可得 又 H R，则 可略，得出： 或 3分图13-31AB x5（自测提高23）. 如图13-31所示。一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起
9、点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 = 10 cm求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点处的速率。 解：由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4秒， T = 8 s， n = (1/8) s-1， w = 2pn = (p /4) s-1 3分(1) 以的中点为坐标原点，x轴指向右方 t = 0时， cm t = 2 s时， cm 由上二式解得 tgf = 1 因为在A点质点的速度大于零，所以f = -3p/4或5p/4（如图） 2分 cm 1分 振动方程 (SI) 1分 (
10、2) 速率 (SI) 2分当t = 0 时，质点在A点 m/s 1分附加题 1 （自测提高24） 在伦敦与巴黎之间（约S320 km ）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩擦，并将地球看作是半径为 R = 6400 km 的密度均匀的静止球体，已知处于地球内部任一点处质量为m的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由 表示，式中G为引力恒量，r为地球密度，r为质点与地球中心的距离。解：见图，质量为m的质点P受的引力在指向O点的方向上的分力为 2分上式中 1分又因 有, 即 1分将、式代入式，得 这表明，在OP方向上，F正比于x并且方向相反，故为谐振动因此 其解为 2分令 m 则列车运行所需时间 42.3 min 2分列车最大速度 2分2（自测提高25）一半径为R的圆形线圈，通有强度为I的电流，平面线圈处在均匀磁场中，的方向垂直纸面向里，如图13-32所示。线圈可绕通过它的直径的轴OO自由转动，线圈对该轴的转动惯量为J。试求线圈在其平衡位置附近做微小振动的周期。 解 1分 2分在微小振动时, ,代入上式有 , 2分
