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1、第7章 实际应用问题本章学习的主要目的：初步掌握数学建模的思想,能对简单实际问题建立数学模型,并用MatLab进行求解分析.7.1 影院最佳座位问题如图1,某影院放映场内的荧幕高为7.62米，其下沿距地面3.05米，第一排座位离荧幕距离为2.74米，每两排座位间距为0.91米，共设21排，剧场地面从第一排座位开始为一倾斜角为20度的斜坡，设观众所在的座位离斜坡起点处的距离为x米（）。现假设观众的最佳位置是这样的位置，它使得观众眼睛对荧幕的张角最大，又设观众的眼睛距地面1.22米，试问哪一排的座位最佳？试画出张角随x变化的图形，并求出在x的变化区间0,18.2上的平均值。图1定义辅助函数，令a=
2、观众与荧幕顶的距离，b=观众与荧幕底的距离，由勾股定理和余弦定理推出张角和距离x的函数关系:，MatLab操作步骤:1) 单击菜单file，new，m-file，进入matlab编辑窗口。2) 在编辑窗口输入function y=f(x)a=(2.74+x*cos(20*pi/180).2+(9.45-x*sin(20*pi/180).2;b=(2.74+x*cos(20*pi/180).2+(x*sin(20*pi/180)-1.83).2;y=acos(a+b-7.62*7.62)./(2*sqrt(a.*b);y=y*180/pi;3) 单击菜单file，save存盘，命名为f.m4)
3、回到matlab命令窗口，输入x=0.91*(0:20);y=f(x);x=0:20; plot(x,y,k) grid on图25）从图形2观察，结论是:座位最佳为第3排。6）计算张角的平均值。在命令窗口输入：mean(y)执行结果ans = 35.59897.2 陈酒出售的最佳时机问题某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入R0=50万元(RMB)，如果窖藏起来待来日（第n年）按陈酒价格出售，第n年末可得的总收入为（万元）。而银行利率为r=0.05。试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。 第一种方案：如果现在出售这批好酒，可得本金50万元，由于银行利润率为：r=0.0
4、5，按照复利计算公式，第n年连本带利资金积累为：; 第二种方案：如果窖藏起来，待第n年出售，原来的50万元到第n年时增值为： ;1.利用这两个不同的公式，分别计算出8年内采用两种方案，50万元增值的数目，将计算所的数据记录下来。 比较所得数据考虑如下问题： （1）如果酒厂希望在2年内投资扩建酒厂，应选择哪一种方案使这批好酒所具有的价值发挥最大作用？ （2）如果酒厂希望在6年后将资金用作其他投资，应该选用哪一种方案？2.假设现在酒厂有一笔现金，数额为X（万元），将其存入银行，到n年时增值为R(n)（万元），根据复利公式，则称X为R(n)的现值。故R(n)的现值计算公式为: X(n)=R(n)/(
5、1+0.05)n。 将 代入上式，可得酒厂将这批好酒窖藏起来作为陈酒在第n年后出售所得总收入的现值为X(n)= /(1+0.05)n,利用这一公式，计算出8年内陈酒出售后总收入R(n)的现值数据。 根据以上数据考虑以下问题： （1）第三种方案，如果酒厂打算将这批好酒出售所得收入用于8年后的另外投资，应选择哪一年作为出售陈酒的最好时期； （2）第四种方案，如果综合考虑银行利率，将出售陈酒后所得总收入再存入银行，使得8年后资金增加最大，又应该作何选择？8年后资金变为：3.考虑银行利率按连续复利公式计算，而酒厂将这批好酒窖藏到第n年，作为陈酒出售总收入为：，结合这两个计算公式，将t年后陈酒出售总收入
6、的现值视为时间的函数，试写出函数的表达式，并在0,10做出函数的图形。利用一元函数极大值的方法求出酒厂将这批好酒作为陈酒出售的最佳时机。MatLab操作步骤:(1)单击菜单file，new，m-file，进入matlab编辑窗口。在编辑窗口输入n=1:10;r1=50*(1+0.05).nr2=50*exp(sqrt(n)/6)r3=r2./r1*50r4=r2.*(1+0.05).(8-n)plot(n,r1,ko) %见图3hold onplot(n,r2,k*)图3figure(2)subplot(1,2,1) %见图4plot(n,r3,k)subplot(1,2,2) %见图5plo
7、t(n,r4,k)单击菜单file，save存盘，命名为sf1.m(2)回到matlab命令窗口，输入sf1，结果记录在下表。年度12345678方案152.500055.125057.881360.775363.814167.004870.355073.8728方案259.068063.289966.732969.780672.580875.209077.709880.1121方案356.255357.405857.646457.408756.869056.122155.226954.2231方案483.114684.814585.170084.818884.021482.918081.59
8、5380.1121图4 图5通过数据的比较得到结论为：（a）如果酒厂希望在2年内投资扩建酒厂，应选择第2方案使这批好酒所具有的价值发挥最大作用。（b）如果酒厂希望在6年后将资金用作其他投资，应该选用第2种方案。(c) 采用现值的概念，如果酒厂打算将这批好酒出售所得收入用于8年后的另外投资，应选择第3年作为出售陈酒的最好时期。(d）如果综合考虑银行利率，将出售陈酒后所得总收入再存入银行，使得8年后资金增加最大，应该选择第3年作为出售陈酒的最好时机。(3) 考虑银行利率按连续复利公式,t年后陈酒出售总收入的现值视为时间的函数，.利用一元函数极大值的方法求出酒厂将这批好酒作为陈酒出售的最佳时机,输入
9、命令:方法1:利用MatLab极值函数。在编辑窗口输入function y=chj(x)y=-1*50*exp(sqrt(x)/6-0.05*x);单击菜单file，save存盘，命名为chj.m在命令窗口输入: x=0:0.1:10;y=-1*chj(x);plot(x,y,k) %见图6grid onfmin(chj,0,10) %求函数的极大值执行结果:ans = 2.7778 方法2：求唯一驻点。syms x y=1*50*exp(sqrt(x)/6-0.05*x) dif=diff(y); %求函数的一阶导数 ezplot(dif) %作函数的一阶导数的图形，观察驻点的大致位置，见图
10、7cdif=char(dif) fezro(cdif,3) %求驻点ans = 2.7778图6 图7以上分析表明酒厂将这批好酒作为陈酒出售的最佳时机是第三年。7.3 空中电缆的长度问题在相距100m的两个塔（高度相同的点）上悬挂一根电缆，电缆可以在中间下垂10m，试求出该电缆的曲线表达式，并作出其图形; 用近似计算方法计算空中电缆的长度;用弧长公式计算电缆长度，并对结果作出比较。1分析求解该电缆在平衡状态时所呈曲线的方程。如图8所示，设电缆的最低点为A，取y轴通过点A铅直向上，并在电缆所在的平面内，再取x轴，使x轴与y轴构成平面直角坐标系，并使|OA|等于定值。 图8设电缆曲线的方程为y=y
11、（x），考察电缆上点A与另一点M（x，y）间的一段弧AM的受力情况，设这段弧的长度为s，s是x的函数：s=s（x）。假设单位长度电缆的重量为p，则弧AM的重量为ps，由于电缆近似柔软，因而在点A处的张力沿水平切线方向，设其大小为H，在点M处的张力沿该点处的切线方向，与水平线成角，设其大小为T，因为作用于弧段AM的外力相互平衡，把作用于弧AM上的力沿铅直及水平两个方向分解，得：，两式相除得：，因为，上式即：，对此式两端关于x求导，并由，得：这是y=y（x）应满足的微分方程。取原点O到A的距离为定值a，即|OA|=a，则初始条件为：求解微分方程，得：,求得a后即可得电缆的曲线方程。由于空中电缆的曲
12、线应满足悬链方程： y=a*cosh(x/a) ,(y=a(exp(x/a)+exp(-x/a)/2 （-50=x=50) 而曲线的最低点(0,y(0)和最高点(50,y(50)的高度差距为10m , 所以，应有y(50)=y(0)+10，即 a*cosh(50/a)=a+10 2 确定参数a的值:(1) 单击菜单file，new，m-file，进入matlab编辑窗口。在编辑窗口输入function y=f(x)y=x.*cosh(50./x)-x-10;单击菜单file，save存盘，命名为f.m(2) 回到matlab命令窗口，输入fplot(f,20,200) %见图9图9观察图9可知
13、零点的可能范围，选取一个靠近零点的值140作初始点x0,输入指令a=fzero(f,140)执行结果a = 126.63243绘制悬链线方程的图形（1） 利用a的具体数据，建立外部函数描述悬链方程单击菜单file，new，m-file，进入matlab编辑窗口。在编辑窗口输入function y=ff2(x)y=126.6324.*cosh(x./ 126.6324);（2） 单击菜单file，save存盘，命名为ff2.m（3） 在命令窗口输入fplot(ff2,-50,50) %见图104 用弧长的定积分公式计算空中电缆的长度。(1)单击菜单file，new，m-file，进入matlab
14、编辑窗口。在编辑窗口输入function y=ff3(x)y=sqrt(1+sinh(x/126.6324).2);(2)单击菜单file，save存盘，命名为ff3.m(3)在命令窗口输入quad(ff3,-50,50)悬链线长度为：ans = 102.61875用过点（-50, 136.6324），(0, 126.6324),(50, 136.6324)的折线长度代替悬链线长度,并与原计算的悬链线长度做计较.单击菜单file，new，m-file，进入matlab编辑窗口。在编辑窗口输入function y=ff4(x)m,n=size(x);y=0;for i=1:m-1 y=y+sqrt(x(i,1)-x(i+1,1)2+(x(i,2)-x(i+1,2)2);end单击菜单file，save存盘，命名为ff4.m在命令窗口输入x=-50, 136.6324;0, 126.6324;50, 136.6324;l1=ff4(x) 折线长度为：l1 = 101.9804x=-50,0,50;y=136.6324, 1
