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1、【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形章末知识整合 新人教A版必修5一、本章的中心内容如何解三角形正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上通过本章的学习应当达到以下学习目标：1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题3本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条
2、对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”4在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力5勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角从上可知，余弦定理是勾股定理的推广二、学数学的最终目的应用数学能把实际
3、问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际1正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长2由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解一般地，解三角形时，只有当A为锐角且bsin Aab时，有两解；其他情况时则只有一解或无解3利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角4把aksin A，bksin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系5余弦定理是三角形边角之间的
4、共同规律，勾股定理是余弦定理的特例6余弦定理的应用范围是：已知三边，求三角；已知两边及一个内角，求第三边7解斜三角形应用题的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解8平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达方法是可到达一侧再找一点进行测量(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)方法是在
5、可到达一侧找两点进行测量(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量9利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化10测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算11求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积12利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角
6、函数式，然后化简并考察边或角的关系题型1利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积解斜三角形包括四种类型：已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；已知三边(先用余弦定理求角)；已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)例1 在ABC中，c4，b7，BC边上的中线AD长为，求a.解析：如图
7、，设CDDBx，在ACD中，cos C，在ACB中，cos C，所以.解得x.所以a2x29.例2 如图，四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于_解析：由余弦定理得BD22222222cos 12012，BD2.BCCD2，C120，CBD30，ABD90，S四边形ABCDSABDSBCD42sin 9022sin 1205.答案：5题型2利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a2Rsin A，a2b2c22abcos C等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所
8、体现的内角关系，如sin Asin BAB，sin(AB)0AB，sin 2Asin 2BAB或AB等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A，cos A等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断例3在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解析：方法一由正弦定理可得2sin Bsin Asin C，B60，AC120，A120C，将其代入上式，得2sin 60sin(120C)sin C，展开整理，得sin Ccos C1，sin(C30)1，C3090.C60，故A60，ABC是正三角形方法二由余弦定理可得b2a2c22accos B，B60，b，a2c22acc
9、os 60.(ac)20，ac，abc，ABC为正三角形题型3三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，则无解；若sin B1，则有一解；若sin B1，则可能有两解(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解例4 在ABC中，若a2，A30，则b为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理得：当bsin Aab时，有两解，此时2b4；当ab时或B为90(b为斜边)时，有一解，此时b2或b4；当absin A时无解，此时b4.题型4正、余弦定理在实际问题中的应用例5 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值解析：如下图，作DMAC交BE于N，交CF于M，DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理得：cosDEF.
