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1、第三章 二维随机变量及其分布一 概念 定理 性质 二维离散型随机变量的联合概率分布记为 满足： 二维离散型随机变量的边缘概率分布记为： 当 是二维离散型随机变量时：相互独立等价于：对的所有可能取值，即： 反之，若存在不独立。 二维连续型随机变量的分布函数可表为：，非负函数称为二维连续型随机变量的联合概率密度或概率密度。 概率密度满足：（4）在的连续点处，有二维连续型随机变量的边缘分布 ；连续型随机变量相互独立等价于：几乎处处成立。对二维离散型随机变量，有的概率分布为： 对二维连续型随机变量，有的概率密度为： 若相互独立，则 若随机变量相互独立，依次服从泊松分布从泊松分布 若各相互独立的随机变量
2、则服从正态分布 进一步有 若随机变量相互独立，其分布函数分别为则的分布函数为：的分布函数为：二 基本题型例 1离散随机变量相互独立同分布，求的概率.解 . 即使两个离散随机变量相互独立同分布, 一般不会以概率1相等.例2 (1)设二维随机变量在矩形域内服从均匀分布，当时，的边缘密度(2)若服从二维正态分布。其密度为：则相互独立的充分必要条件是例 3设二维随机变量的概率分布如下表： 01200.060.150.0910.350.21(1) 求；(2)随机变量是否相互独立？（3）求。解：（1）;(2)求得的边缘分布如下表： 01200.060.150.090.310.140.350.210.70.
3、20.50.31故相互独立；（3）例4 设二维随机向量的可能值为，且取这些值得概率依次为试求二维随机向量的分布律和边缘分布律。 0200001001解：所求二维随机向量的分布律和边缘分布律如表所示。例 4 设令求的联合概率分布。解: 因为: ,.例5设二维随机变量的概率分布如下表： 121021（1） 求的边缘分布律。（2）求的条件下的条件分布律及的条件下的条件分布律。 解: 的边缘分布律为的边缘分布律为的条件下的条件分布为的条件下的条件分布为例6随机变量在矩形域上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量及是否独立？解 按题意具有联合概率密度, ,及是独立的.事实上,若服从区域
4、上的均匀分布，则只有当为矩形区域：时，与分别服从上的均匀分布，且与独立，反之亦然.例7 设二维随机变量的概率密度函数为= 求边缘概率密度.解 对任意， 当或时,对任意，可知边缘概率密度为：；例8 随机变量的分布函数为=.求：（1）的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量与是否独立？解 由分布函数的性质有=0=1从而对任意的；有，于是，有， 独立。 例9 两人相约7点到8点之间会面，先到者至多等20分钟，过时不候，设每人在这段时间内任何时刻到达的可能性相同，且两人到达的时刻是独立的，求两人会面的概率。解:表示甲，已两人到达的时刻，概率密度为：因独立，故联合密度为：会面的概率为：例10 设二
5、维随机变量的联合密度为： 试问是否独立。解：当从而：例 11 进行打靶试验，设弹着点的坐标相互独立，且都服从分布，规定点落在区域得2分，点落在区域得1分，点落在区域得0分，以记打靶的得分，写出的联合概率密度，并求的分布律。解：因为与相互独立，所以的联合概率密度为所以，的分布律为:例12 设随机变量的联合密度试求（1）常数；（2）解（1）因例 13 设二维随机变量的概率密度函数为（1）求常数的边缘概率密度。（3）解（2）的边缘概率密度为当，=，当，=，可知边缘分布密度为：=（3）例 14 设随机变量 的概率密度函数为：（1）求,(2)问是否相互独立？解：（画图）当时，故（2）独立。例15 一仪器
6、由二个部件构成，以和分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数（1990考研数学4）（1）与是否独立？（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率解（1）和的分布函数分别为由于，故独立。例 16 设随机变量相互独立，均服从同一分布，试证：证：设是连续型随机变量，记故例 17设随机变量相互独立同分布，都在区间1,3上服从均匀分布，记事件.且求常数解 例 18（1）和是相互独立同分布的随机变量，且求的概率分布.解 （1）的可能取值为2，3，4.且故有:（2）由已知易得 例 19 设的概率分布如下表： Y X-YX X+Y-2-10-1 -3 1 -2 0 -1 -1 0 30求（1
7、)X+Y的概率分布，（2）X-Y的概率分布。解：略。例20设随机变量相互独立，且服从期间0，1上的均匀分布，求的概率密度。解 在0，2中取值，按卷积公式的分布密度为：如图， 从而：例 21 设随机变量;,且相互独立，求解：由62页，故由34页有例 22某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度. 解表第周的需求量，各相互独立。设两周的需求量为，则要而故故例 23设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解 设为选取的第只电子管的寿命，则令则所求概率为=（由独立性）=而因
8、此 三 扩展题型例 1 在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量, 如下： 试分别就（1）、（2）两种情况，写出和的联合分布律并问随机变量和是否相互独立？解（1）放回时，（2）不放回抽样， 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立例 2 设为二随机变量，且则 （1995考研数学1）。解：记由 例3设随机变量相互独立，且同分布求行列式的概率分布。（1994考研数学4）解：记独立同分布：，随机变量有三个可能值-1，0，1，易见：，于是，行列式的概率分布律为-1010.13440.73120.1
9、344例4 设是相互独立的随机变量， 证明 证明： 例5 平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在上服从均匀分布，求关于的边缘密度在处的值。（1998考研数学1）解：例3图例6 设随机变量的联合概率密度为求的联合分布函数（1995考研数学4）解：如图记则当时，有当时，有当时，有当时，有当时，有故的联合分布函数为例 7 设随机变量的概率密度为：（1）是否相互独立，（2）求的概率密度。解：（1）（2）例 8 设二维随机变量的概率密度为（1）求随机变量的密度 （2）求概率，（1992考研数学4）例4图解：（1）当时，当时，故（2）如图例9设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为（1999考研数学4）例5图解：由已知有，随机变量的密度函数为记，如图有：当时，当时，当时，所以随机变量的分布函数：所以随机变量的密度函数：例10 设随机变量相互独立，且服从参数为的指数分布，求解：的联合密度为
