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1、第九讲 极限与探索性问题【考点透视】1理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2了解数列极限和函数极限的概念3掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限4了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质【例题解析】考点1 数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限.注意：a不一定是an中的项.2.几个常用的极限：C=C（C为常数）;=0;qn=0（|q|1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当an=a, bn=b时， （an
2、bn）=ab; 例1.数列满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ( )A. B. C. D.2考查目的本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用.解答过程由和得故选A.例2设常数，展开式中的系数为，则_.考查目的本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.解答过程 ，由，所以，所以为1.例3.把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于( )（ ）ABCD2考查目的本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用.解答过程 故选D例4.设等差数列的公差是2，前项的和为，则思路启迪：由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项解答过程 故填3小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数
3、列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1） C=C（C为常数）;（2） （）p=0（p0）;（3） =（kN *,a、b、c、dR且c0）;（4） qn=0（|q|1）.例5.设正数a, b满足则（ ）（A）0（B）（C）（D）1解:故选B 小结:重视在日常学习过程中运用化归思想.考点2 函数的极限1.函数极限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x时，f（x）a.（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等
4、于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当xx0时，f（x）a.（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即xx0无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.2.极限的四则运算法则：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）g（x）=ab; f（x）g（x）=ab; =（b0）.例6 =( ) A等于0
5、B等于l C等于3 D不存在考查目的本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.解答过程 故选B例7 ( )（A）0（B）1（C）（D）考查目的本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力.解答过程 故选D例8.若f （x）=在点x=0处连续，则f （0）=_.思路启迪：利用逆向思维球解.解答过程：f（x）在点x=0处连续，f （0）=f （x）,f （x）= = =.答案: 例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f （x）=0,f （x）=3,求这一函数最大值.思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （x）=f （x）构造方程,求出b的值.解答过
6、程：f （x）=ax2+bx+c是一偶函数,f （x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f （x）=ax2+c.又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f （x）=x2+1.f （x）max=f（0）=1.f （x）的最大值为1.例10.设f（x）是x的三次多项式，已知=1.求的值（a为非零常数）.解答过程：由于=1,可知f（2a）=0. 同理f（4a）=0. 由，可知f（x）必含有（x2a）与（x4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x2a）（x4a）（xC）.这里A、C均为待定的常数.由
7、=1,即=A（x4a）（xC）=1,得A（2a4a）（2aC）=1,即4a2A2aCA=1. 同理，由于=1,得A（4a2a）（4aC）=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f（x）=（x2a）（x4a）（x3a）.=（x2a）（x4a）=a（a）=.例11 a为常数，若（ax）=0,则a的值是_.思路启迪：先对括号内的的式子变形.解答过程：（ax）= =0,1a2=0.a=1.但a=1时，分母0,a=1.考点3.函数的连续性及极限的应用1.函数的连续性.一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）f（x）存在；（
8、3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.2.如果f（x）是闭区间a,b上的连续函数，那么f（x）在闭区间a,b上有最大值和最小值.3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）g（x）,f（x）g（x）,（g（x）0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数fu（x）在点x0处也连续.例12.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要思路启迪：说明问题即可.解答过程：
9、f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A例13.f（x）=的不连续点为( )A.x=0 B.x=（k=0,1,2,）C.x=0和x=2k（k=0,1,2,） D.x=0和x=（k=0,1,2,）思路启迪：由条件出发列方程解之.解答过程：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是连续点,故选D答案：D例14. 设f（x）=当a为_时,函数f（x）是连续的.解答过程：f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（,+）内是连
10、续的.小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例15.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续( )A.处处连续 B.x=1 C.x=0 D.x=思路启迪：考虑结果的启发性.解答过程：f（x）= f（x）=f（）.答案：D例16.抛物线y=b（）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n时的极限值,求S的值.思路启迪：先列出式子.解答过程：S=b（）2+b（）2+b（）2+b（）22=ab=ab=ab.例17.如图，在边长为l的
11、等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（nN*）. （1）证明an是等比数列；（2）求（a1+a2+an）的值.解答过程：（1）证明:记rn为圆On的半径，则r1=tan30=l.=sin30=,rn=rn1（n2）.于是a1=r12=,=（）2=,an成等比数列.（2）解：因为an=（）n1a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=.例18. 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经
12、过的路程和时间分别是多少?解答过程：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0=10（m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2=10（.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2,则L2=2=10（）4.由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为Ln=10（）2n.故从第一次到第n+1次所经过的路程为Sn+1=h0+L1+L2+Ln,则整个过程总路程为S=Sn+1=5+10=5+10=20.3（m）,小球从开
13、始下落到第一次与地面相碰经过时间t0=1（s）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2=2,同理可得tn=2（）n,tn+1=t0+t1+t2+tn,则t=tn+1=1+2=8（s）.考点4.新考题例19（本小题满分12分）已知数列、与函数、，满足条件： （I）若，且存在，求的取值范围，并求（用表示）（II）若函数在上是增函数，证明对任意的，考查目的本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力. 解答过程（）解法一：由题设知，可得 由是等比数列，其首项为，于是 又 解法二：由题设知，可得 由，公比为的等比数列. 由 所以 解法三：由题设知，即
