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1、 模块三数列考查角度1等差数列、等比数列的基本量的运算(见学生用书P37)分类透析1等差数列与等比数列的基本量例1 (1)记Sn为等差数列an的前n项和,若a2+a4=10,S4=24,则a1的值为().A.9B.1C.-9D.-2(2)设正项等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则公比q等于().A.5B.4C.3D.2答案 (1)A(2)D解析 (1)根据等差数列的通项公式及前n项和公式可得a2+a4=a1+d+a1+3d=10,S4=4a1+432d=24,解方程组可得a1=9,d=-2.故选A.(2)因为S2=3,S4=15,S4-S2=12,所以a1+a2=3,a3+
2、a4=12,两个方程左右两边分别相除,得q2=4.因为数列an是正项等比数列,所以q=2,故选D.小结 (1)等差(比)数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d(或q),an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差(比)数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d(或公比q).分类透析2等差数列、等比数列的性质例2 (1)已知Sn是等差数列an的前n项和,若a1=-2018,S20192019-S20132013=6,则S2020=.(2)已知正项等比数列an,若向量a=(8,a2),b=(a8,2),ab,则log2a1+log2a2+log
3、2a9=().A.12B.8+log25C.5D.18答案 (1)2020(2)D解析 (1)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列,设其公差为d,则S20192019-S20132013=6d=6,d=1.故S20202020=S11+2019d=-2018+2019=1,S2020=12020=2020.(2)已知向量a=(8,a2),b=(a8,2),ab,则82-a2a8=0,即a2a8=16.根据等比中项的知识可得a2a8=a52=16.a50,a5=4,log2a1+log2a2+log2a9=log2(a1a2a9)=log2(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=
4、log2a59=9log24=18.小结 (1)对于等差、等比数列问题,一般都可用基本量法,列方程组求解,但是计算量略大.有时结合数列的性质,可简化运算,减少运算量.(2)等差、等比数列的性质主要有通项公式的变形,等比中项的变形,前n项和公式的变形.熟记性质,抓住变化特征,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(见学生用书P37)1.(2020年全国卷,理T4改编)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次
5、也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则下层共有()扇面形石板.A.1539块B.1863块C.1963块D.3402块答案 B解析 设第n环的扇面形石板块数为an,第一层共有m环,则数列an是以9为首项,9为公差的等差数列,即an=9+(n-1)9=9n,设Sn为an的前n项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,因为下层比中层多729块,所以S3m-S2m=S2m-Sm+729,即3m(9+27m)2-2m(9+18m)2=2m(9+18m)2-m(9+9m)2+729,即9m2=729,解得m=9,所以S3m=S27=27(9+927)
6、2=3042,S2m=S18=18(9+918)2=1539,所以S3m-S2m=3402-1539=1863.故选B.2.(2020年全国卷,理T6改编)数列an的前n项和为Sn,若a1=2,am+n=aman,ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则Sk=().A.6B.14C.30D.62答案 C解析 在等式am+n=aman中,令m=1,可得an+1=ana1=2an,an+1an=2,数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,则an=22n-1=2n,ak+1+ak+2+ak+10=ak+1(1-210)1-2=2k+1(1-210)1-2=2k+1(210-1)=25(21
7、0-1),2k+1=25,则k+1=5,解得k=4.Sk=S4=2(1-24)1-2=30.故选C.3.(2020年全国卷,文T10改编)在等差数列an中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=-2,则a8+a9+a10=().A.-21B.-6C.-20D.-9答案 C解析 设等差数列an的公差为d,a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=-2,3d+(a1+a2+a3)=-2,解得d=-1,则a8+a9+a10=21d+(a1+a2+a3)=-21+1=-20.故选C.(见学生用书P38)1.(2020年贵阳模拟)在等差数列an中,若a1+a4=76,a3+a6=56,则公差d=()
8、.A.16B.112C.-16D.-112答案 D解析 由等差数列的性质知,a3+a6=(a1+2d)+(a4+2d)=(a1+a4)+4d=56,又a1+a4=76,所以d=-112.故选D.2.(2020届安徽皖南模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,若S8=a8=8,则公差d等于().A.14B.12C.1D.2答案 D解析 S8=a8=8,a1+a2+a8=a8,S7=7(a1+a7)2=7a4=0,a4=0.又由a8=a4+4d,解得d=a8-a44=8-04=2.3.(2020届山东淄博模拟)在正项等比数列an中,若a3a7=4,则(-2)a5=().A.16B.8C.4D.2答
9、案 C解析 在正项等比数列an中,a50,由等比中项的性质可得a52=a3a7=4,a5=2,(-2)a5=(-2)2=4.4.(2020届山西太原模拟)已知在等差数列an中,前5项和S5=25,a2=3,则a9=().A.16B.17C.18D.19答案 B解析 由等差数列的性质及求和公式得S5=5(a1+a5)2=5a3=25,解得a3=5.又a2=3,所以公差d=2,故a9=a3+6d=17.5.(2020年晋城模拟)设正项等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则公比q等于().A.5B.4C.3D.2答案 D解析 因为S2=3,S4=15,所以S4-S2=12,所以a1
10、+a2=3,a3+a4=12,得q2=4,因为数列an是正项等比数列,所以q=2,故选D.6.(2020届安徽皖南八校模拟)已知正项等比数列an的首项为1,前n项和为Sn.且S1,S2,S3-2成等差数列,则a4=().A.8B.18C.16D.116答案 A解析 设等比数列an的公比为q,因为S1,S2,S3-2成等差数列,所以2S2=S1+S3-2,即2(a1+a2)=a1+a1+a2+a3-2,所以a2=a3-2,即q=q2-2,解得q=2或q=-1.因为an0,所以q=2,所以a4=a1q3=8.7.(2020届安徽皖南模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,若a42=a7,S4S2=
11、3,则a5=().A.2B.22C.4D.42答案 C解析 a42=a7,a1a7=a7,a1=1.又S4S2=3=1-q41-q2=1+q2,解得q2=2,a5=a1q4=4.8.(2020届湖南长沙模拟)周髀算经中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这些节气的日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为().A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺答案 B解析 设这十二个节气日影长依次成等差数列an,Sn是其前n项和,则S9=9(a1+a9)2=9a5=
12、85.5,解得a5=9.5.由题意知a1+a4+a7=3a4=31.5,解得a4=10.5,所以公差d=a5-a4=-1,所以a12=a5+7d=2.5,故选B.9.(2020届广东梅州模拟)在各项不为0的等差数列an中,2a3-a72+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于().A.2B.4C.8D.16答案 D解析 在等差数列an中,a3+a11=2a7,故原式等价于4a7-a72=0,解得a7=0或a7=4,因为数列an是各项不为0的等差数列,所以得到a7=4=b7.又数列bn是等比数列,故b6b8=b72=16.10.(2020届东北三省四校联考)风雨桥是侗族最
13、具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成,其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图所示的是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下:A1B1=A0B0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,A3B3=A2B2-B2B3,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,其中Bn-1Bn=B2B3=B1B2=B0B1,nN*.根据每层边长间的规律,建筑师通过推算,可初步估计需要多少材料.所用材料中,横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层,若A0B0=8 m,B0B1=0.5 m.则这五层正六边形的周长总和为().A.35 mB.45 mC.210 mD
14、.270 m答案 C解析 由已知得,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,Bn-1Bn=B2B3=B1B2=B0B1=0.5,因此数列An-1Bn-1(nN*,1n5)是以8为首项,-0.5为公差的等差数列,设数列An-1Bn-1(nN*,1n5)的前5项和为S5,因此有S5=58-12540.5=35(m),所以这五层正六边形的周长总和为6S5=635=210(m).11.(2020届河北唐山模拟)已知数列an是公比不为1的等比数列,Sn为其前n项和,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,则S3=().A.5B.6C.7D.9答案 C解析 已知数列an是公比不为1的等比数列,满足a2=2,即a1q=2,又16a1,9a4,2a7成等差数列,则18a4=16a1+2a7,即9a1q3=8a1+a1q6,解得q=2或q=1(舍去),a1=1,则S3=1-231-2=7.12.(2020届广东顺德模拟)在各项均为正数的等比数列an中,a1=1,a2+a3=6,则S6S3=.答案 9解析 设等比数列an的公比为q,因为a1=1,a2+a3=6,所以a1=1,a1q+a1q2=6,解得q=-3(舍去)或q=2,所以S6=1(1-26)1-2=63,S3=
