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1、函数与导数（一）选择题1.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( ) A. B. C. D.2.设，则（ ） A. B. C. D.3.若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）A. B. C. D.4.过作曲线的切线，其中一条切线方程为（ ）A. B. C. D.5.已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.（二）填空题7.设是函数的两个极值点，若，则实数的取值范围是_.8.设函数，则满足的的取值范围是_.9.已
2、知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则_.10.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_.（三）解答题11.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当，求的最小值的取值集合12.设函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.（1）求的值；（2）若时，求的取值范围13.已知函数.（1）求的最小值；（2）判断的零点个数，说明理由；（3）若有两个零点，证明：. 14.已知函数在处取得极值.（1）求的单调区间；（2）若在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围.15.已知函数，且.（1）求.（2）证明：存在唯一的极大值点，且.16.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.参考答案：
3、（一）选择题1.解析：为奇函数，在上为减函数，在上为减函数，故答案为B2.解析：因为，则只要比较的大小即可，在同一坐标系中作出函数以及的图象，由三个图象的相对位置关系，可知故选D3.解析：对于选项A，当时，在函数的定义域上单调递增，符合题意，应选A.4.解析：设切点为，因为，所以，所以，解得或，所以切线斜率为1或者-3，所求切线方程为或，应选D.5.解析：因为，即.作出函数的简图，如图1所示，由图象可得，当在上任意取一个值时，都有4个不同的与的值对应，再结合题中函数有8个不同的零点，可得关于的方程有两个不同的实数根，且.所以解得，故选D.6.解析：设，则由已知得对恒成立，即，所以对恒成立，所以
4、，应选A.（二）填空题7.解析：依题意得的两个零点满足，所以，解得，所以的取值范围是.8.解析：当时，恒成立，当，即时，.当，即时，不等式恒成立当时，所以.综上所述，的取值范围是.9.解析：设方程的四个根分别为，其中是方程的两根，是方程的两根，则由于组成首项为的等差数列，所以该数列是，所以.10.解析：设与和的切点分别为和.则切线分别为，.化简得.依题意，得，解得，从而.（三）解答题11.解析:（1）当时，则，当时，当时，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为，令，解得（舍去），.当时，当时，.所以.设，则由，得，即，所以.所以，则，所以在上单调递减，所以，所以当，的最小值的取值集合为1
5、2.解析：（1）由已知得.而，故.从而.（2）由（1）知，.设函数，则，由题设可得，即.令得.（i）若，则，从而当时，；当时，即在单调递减，在单调递增，故在的最小值为，而.故当时，即恒成立（ii）若，则，从而当时，即在单调递增而故当时，即恒成立（iii）若，则.从而当时，不可能恒成立.综上得的取值范围是.13.解析：（1）因为，所以，当；当.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.故当时，取得最小值为.（2）由（）知的最小值为.当，即时，没有零点.当，即时，有一个零点. 当，即时，构造函数，则. 当时，.所以在上单调递增.故.所以时，即.又因为，所以.又，所以必存在唯一的，唯一的，使得为的两个零
6、点，故当时，有两个零点.（3）若为的两个零点，设，则由（）知.则 令，则，所以在上单调递增，因此.又，所以，即，故.又，且由（）知在单调递减，所以，即.14.解析：（1）因为，由，解得，所以，所以.则当时，当时，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）由已知得，方程在内有两个不同的零点.由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.所以，即.同时，当时，且当时，；当时，易得，所以，即.综合可得，即实数的取值范围是.15.解析: （1）的定义域为.设，则，等价于.因为.故，而得.若，则；当时，单调递减；当时，单调递增，所以是的极小值点，故.综上，.（2）由（1）知，.设，则.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增，又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，当时，；当时，.因为，所以是的唯一极大值点由得.故.由得.因为是在的最大值点，由得，所以.16.解析：（1）的定义域为，.若，则当时，.故在单调递增若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值，所以等价于，即.设则.当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故当时，取得最大值，最大值为.所以当时，.从而当时，即.
