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1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.本节内容多以选择题与填空题的形式出现，是高考热点内容之一，一般以高中数学知识为载体，考查学生的逻辑推理能力，掌握本节内容的关键是深刻理解相关概念.1.命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题，其中_的语句叫做真命题，_的语句叫做假命题.(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为_.(3)在两个命题中，如果一个命
2、题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为_.(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为_.(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么_就叫做原命题的逆命题；_就叫做原命题的否命题；_就叫做原命题的逆否命题.2.四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系图(请你补全)(2)真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有_的真假性，即等价；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_.3.充分条件和必要条件(1)如果pq，则称p是q的_，q是p的_.(2)如果_，且_，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的
3、_，记作_.(3)如果pq，但qp，那么称p是q的_条件.(4)如果_，但_，那么称p是q的必要不充分条件.(5)如果_，且_，那么称p是q的既不充分也不必要条件.【自查自纠】1.(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2.(1)(2)相同没有关系3.(1)充分条件必要条件(2)pqqp充要条件pq(3)充分不必要(4)pqqp(5)pqqp下列语句为命题的是()A对角线相等的四边形Ba5Cx2x10D有一个内角是90的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D.()已知集合A1，a，B1，2，
4、3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：“a3” “AB”，反之，ABa2或3.故选A.()命题“若，则tan1”的逆否命题是()A若，tan1 B若，tan1C若tan1，则 D若tan1，则解：“若，则tan1”的逆否命题是“若tan1，则”.故选C.已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是_.解：“”的否定为“”，“”的否定为“”， 命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是“若abc3，则a2b2c23”.故填若abc3，则a2b2c23.已知下列四个命题： “若xy1，则x，y互为倒数”
5、的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则方程x22xm0有实根”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题.其中真命题的是_(填写对应序号即可).解：对于，“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”为真命题；对于，“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不等的三角形不全等”为真命题；对于，“若m1，则方程x22xm0有实根”的逆否命题的真值即为原命题的真值，当m1时，44m0，方程x22xm0有实根，原命题为真，故为真；对于，“若ABB，则AB”的逆否命题的真值即为原命题的真值，由于ABBBA，故原命题为假，故为假故填.类型一四种命题及其相互关系写出
6、下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在ABC中，若ABAC，则CB；(3)若x22x30，则x1或x3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题(2)逆命题：在ABC中，若CB，则ABAC.否命题：在ABC中，若ABAC，则CB.逆否命题：在ABC中，若CB，则ABAC.这里，四种命题都
7、是真命题(3)逆命题：若x1或x3，则x22x30.否命题：若x22x30，则1x3.逆否命题：若1x3，则x22x30.这里，四种命题都是真命题【评析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式在(2)中，原命题有大前提“在ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提(3)中“x1或x3”的否定形式是“x1且x3”，即“1x3”.写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy0，则x，y中至少有一个为零；(2)若ab0，则a，b中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理
8、数都能写成分数.解：(1)否定形式：若xy0，则x，y都不为零否命题：若xy0，则x，y都不为零(2)否定形式：若ab0，则a，b都大于零否命题：若ab0，则a，b都大于零(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等(4)否定形式：有理数不都能写成分数否命题：非有理数不都能写成分数类型二定义法判定充要条件在ABC中，设p：；q：ABC是正三角形，那么p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：若p成立，即，由正弦定理可得k.则q：ABC是正三角形成立反之，若abc，ABC60，则.因此
9、pq且qp，即p是q的充要条件故选C.【评析】判断p是q成立的什么条件，就是根据充分条件与必要条件的定义，判断“若p，则q”与“若q，则p”是否成立，若只有一个成立，则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件，若两个命题同时成立，则p是q的充要条件()设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：因为点P(2，1)满足直线l的方程，所以它在直线l上，反之不能推出点P的坐标必为(2，1)，故选A.类型三集合法判定充要条件“sin”是“cos2”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必
10、要条件 D既不充分也不必要条件解：令A|p()，B|q()，则可得A，B.显然，AB，所以p是q的充分不必要条件故选A.【评析】利用集合的观点来判断充要条件的问题，就是把命题p，q与集合的特征性质结合起来，即p，q是集合A，B的特征性质，Ax|p(x)，Bx|q(x)，再由集合A，B之间的关系就可以得到命题p，q之间的关系这里用数形结合的思想方法，能使问题的解答直观、简捷设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：设A， B(x，y)|x2y24，通过画草图可知AB，则“x2且y2”是“x2y24”的充分而不
11、必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断类型四充要条件的证明与探求数列an的前n项和SnAn2Bn(A，B是常数)是数列an是等差数列的什么条件？解：当n1时，anSnSn12AnBA；当n1时，a1S1AB适合an2AnBA.所以an2AnBA，显然an是等差数列，故充分性成立反之，若an是等差数列，则有Snna1d(d为公差)，即Snn2n.设A，Ba1，即得SnAn2Bn，因此，必要性成立所以SnAn2Bn(A，B是常数)是数列an是等差数列的充要条件【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；证明充分性或必要性时，没有把“p”(或
12、“q”)分别作为条件，推出“q”(或“p”)设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解：x2，因为x是整数，即2为整数，所以为整数，且n4，又因为nN，取n1，2，3，4，验证可知n3，4符合题意；反之，n3，4时，可推出一元二次方程x24xn0有整数根故填3或4.类型五充要条件的应用设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足 若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解：p是q的必要不充分条件，即qp，pq.设Ax|p(x)x|x24ax3a20，a0x|ax3a，Bx|q(x)，则BA，1a2，又当a2时也满足BA.1a2.所以实数a的取值范围是(1，2【评析】此题和变式5难度都不大，但“拐弯抹角”，易于出错应注意：充分运用充要条件的定义；条理清晰，细心作答；借助数轴，准确运算设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围.解：设Ax|x24ax3a20，a0x|3ax0x|x2p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件，AB.a4或3a2.又a0，a的取值范围是(，41.命题及命题真假的判断(1)判断一个语句是否为命题，就
