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1、第五讲 等差等比1在等差数列中，则（ ）A. B. C. D. -1或12.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ ）A. B. C. D. 3.已知数列的前项和，第项满足，则（ ） A B C. D4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A2 B3 C4 D55.设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（ ）2 4 6 86. 等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为 一等差数列的证明方法：1. 定义法：2等差中项：对于数列，若3. 等差数列的通项公式：-该公式整理后是关于n的一次函数4. 等差数列的前n项和 等差中项: 如果，
2、成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或二等差数列的性质:1等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有2. 对于等差数列，若，则。也就是：， 3若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示：4设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：当n为偶数时， 当n为奇数时，则，。三等比数列的判定方法:1.定义法：若2.等比中项：若，则数列是等比数列。3.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。 4.等比数列的前n项和: 当时，等比中项:如果使，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么。
3、四等比数列的性质:1等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有2.对于等比数列,若，则即：。3若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：第六讲 求通项公式1. 已知数列的前n项和为，且，则等于( )A. 4 B. 2 C. 1 D. -22在数列中，且，则_ _. 3在数列中，若 (n1),则该数列的通项 =_ _ _.4对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 .5.已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 6.已知数列对于任意，有，若，则 一、 根据数列的前n项和求通项 已知数列前n
4、项和Sn,相当于知道了n2时候an,但不可忽视n=1.二、由递推关系求数列的通项1. 利用迭加、迭乘、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成bn的等比数列。3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得。4.对含与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。【范例1】记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列的通项公式及数列的前n项和【变式】数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式【范例2】设数列的首项（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再
5、由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列 Pn.求：（）的关系式； （）数列的通项公式；【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【变式】已知函数f (x)=，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f
6、 (x)）两点的直线平行。求证：当n时，() x第七讲 数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，2错位相减法求和：如：3分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。4合并求和：如：求的和。5裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 6公式法求和 7倒序相加法求和【范例1】设数列满足，（）求数列的通项； （）设，求数列的前项和【变式】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都
7、成立的最小正整数m；【范例2】已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（I）求 （II）求数列的前2n项和；【变式】在数列中，（）证明数列是等比数列； （）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立【范例3】已知，点)在函数的图象上，其中=1，2，3，（）证明数列是等比数列；（）设，求Tn及数列的通项；（）记，求bn数列的前项和Sn，并证明第八讲 数列综合1.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）3 2 1 2.已知等差数列的前项和为，若，则 3. 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( )A B. C. D.4. 已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各
8、项的和为.(I)求数列的首项和公比；(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；【范例1】已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式【变式】在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。（理）在数列中，其中（）求数列的通项公式； （）求数列的前项和；第五讲 等差等比1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6. 第六讲 求通项公式1.A 2.35 3. 4. 5.2n-10,8 6.4【范例1】解析（I）整理得（）由所以【变式】解：（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II
9、）当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以【范例2】解：（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故则又由（1）知且，故，因此为正整数方法二：由（1）可知，因为，所以由可得，即两边开平方得即为正整数【范例3】 解析 （）由题得 过点P1（的切线为过原点 又过点Pn（的因为过点Pn-1（ 整理得 （）由（I）得 所以数列xn-a是以公比为的等比数列【变式】解、 (I ) 证明：因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是 以.第七讲 数列求和【范例1】解 (I) 验证时也满足上式，(II) ， - ： ，【变式】解：（）设这二次函数,由于f(x)=6x
10、2,得a=3 , b=2, 所以 又因为点均在函数的图像上，所以当n2时，当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.【范例2】（I）解：方程的两个根为，当时，所以；当时，所以；当时，所以时；当时，所以（II）解：【变式】解、（）证明：由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列（）解：由（）可知，于是数列的通项公式为所以数列的前项和（）证明：对任意的，所以不等式，对任意皆成立【范例3】解：（）由已知， ，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知
11、（*）=由（*）式得（） 又 又.第八讲 数列综合1.B 2.7 3.C【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。4. 解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.【范例1】解：（）由题设得，即（）易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（II）解：由题设得，令，则易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为 由解得， 求和得【变式】解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，； 当时，。（理）（）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和
