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1、习题一解答1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（3）(3 + 4i)(2 5i) ；1（2）1 ；3i（4）i 8 4i 21 + i（1）；3 + 2ii1 i2i 1 = 3 2i = 1 （1）(33 + 2i(3 + 2i)(3 2i)13 2i)解所以312Re1 =， Im = ,3 + 2 i 133 + 2i 13221= 1 (3 + 2i) ，33 + 13 ，=3 + 2i133 2i1313 1311Arg = arg + 2k 3 + 2 i 3 + 2 i = arctan 2 + 2k , k = 0,1,2, 31 3i i 3i(1 + i ) 13
2、5（2） = i ( 3 + 3i) =i,i1 ii( i)(1 i)(1 + i)222所以Re1 3i 3 =, i 1 i 2Im1 = 53i i1 i 2 3 2 5 2135 =+ i，3i134，= + = i1 i 22i 2 2 2Arg 1 = arg 1 + 2k3 i3 i i1 i i1 i = arctan 5 + 2k,k = 0,1,2, .3（3） (3 + 4i)(2 5i) = (3 + 4i)(2 5i )( 2i) = (26 7i)( 2i)(2i)( 2i)2i4= 7 26i = 7 13i22所以 (3 + 4i)(2 5i )7 = ，Re
3、2i2 (3 + 4i )(2 5i ) = 13 ，Im2i13i1 i1+ (3 + 4i )(2 5i )7 = + l3i2i2(3 + 4i)(2 5i)5 29，=2i2 (3 + 4 i)(2 5 i) (3 + 4 i)(2 5 i)26Arg = arg + 2k = 2 arctan + 2k2 i2 i7= arctan 26 + (2k 1) ,k = 0,1,2, .7（4） i8 4i21 + i = (i 2 )4 4(i2 )10 i + i = ( 1)4 4( 1)10 i + i= 1 4i + i = 1 3i所以Rei8 4i 21 + i= 1, I
4、mi8 4i 21 + i= 3i8 4i21 + i = 1 + 3i ，| i8 4i 21 + i |=10Arg(i8 4i 21 + i)= arg(i8 4i 21 + i)+ 2k = arg(1 3i) + 2k= arctan3 + 2kk = 0,1,2, .2如果等式 x + 1 + i(y 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。5 + 3i解：由于x + 1 + i(y 3)x + 1 + i(y 3)(5 3i )=(5 + 3i)(5 3i)5(x + 1) + 3(y 3) + i 3(x + 1) + 5(y 3)5 + 3i=34= 1 5x
5、 + 3y 4+ i( 3x + 5y 18) = 1 + i34比较等式两端的实、虚部，得5x + 3 y 4 = 34或 5x + 3 y = 38 3x + 5 y 18 = 34 3x + 5 y = 52解得 x = 1, y = 11 。3证明虚单位 i 有这样的性质：-i=i-1= i 。4证明1) | z |2 = zz 6) Re( z) = 1 ( z + z), Im( z) = 1 ( z z )22i2证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。5对任何 z ， z 2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些 值才成立？解：设
6、z = x + iy ，则要使 z 2 =| z |2 成立有x2 y2 + 2ixy = x2 + y 2 ，即 x2 y 2 = x2 + y2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。6当| z | 1 时，求| z n + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。i arg a解：由于 z n + a |z|n + |a| 1 + |a| ，且当 z = e时，有nnarg a i| z n + a| = e= (1 + a )ei arg a+ |a|ei arg an= 1 + |a|故1+ | a | 为所求。8将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-
7、1；（3）1+ 3 i；(cos5 + isin5 )22i（4）1 cos + isin (0 ) ；（5）；（6）(cos3 isin3 )3 1 + ii 解：（1） i = cos+ isin= e 2 ；22（2） 1 = cos + isin = eii 1 3 3 （3）1 + i 3 = 2+ i = 2e 3 ； = 2 cos+ isin 223 （4）1 cos + isin = 2sin 2 + i2sin cos = 2sin sin + icos 2 2 2222i cos + isin e, (0 ) ；= 2sin = 2sin22 222 11 2i1（5）=
8、2i( 1 i) = 1 i = 2 i 1 + i222 =2 cos isin44 i = 2e4(cos5 + isin5 )2= (ei5 )2 / (ei3 )3 = ei10 /ei9 = ei19（6）(cos3 isin3 )33= cos19 + isin199将下列坐标变换公式写成复数的形式：x = x + a ,1）平移公式：11 y = y1 + b1 ;x = x cos y sin ,2）旋转公式：11 y = x1 sin + y1 cos .解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有i1） z = z1 +
9、 A ；2） z = z1 (cos + i sin ) = z1e 。10一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ i Arg z i解：设复数 z =| z | ei Arg z ，则 z( i ) =| z | e辐角减少 。i Arg z e 2 = |z|e 2 ，可知复数的模不变，211证明：| z + z |2 + | z z |2 = 2(| z |2 + | z |2 ) ，并说明其几何意义。121212证明：| z + z |2 + | z z|2=( z + z )( z + z ) + ( z z )( z z )1212121212122( z1 z1 + z2 z2
10、 )2(| z |2 + | z |2 )12其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。12证明下列各题：P( z)1）任何有理分式函数 R( z) =可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具Q( z)有实系数的 x 与 y 的有理分式函数；2）如果 R( z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R( z ) = X iY ；3）如果复数 a + ib 是实系数方程nn1a0 z + a1 z+ + an1 z + an = 0的根，那么 a ib 也是它的根。P( z)P( z)Q( z)Re(P( z)Q( z)Im(P( z)Q( z)证1） R( z) =+;Q( z)Q( z)Q( z)q( x, y)q( x, y) P( z )P( z) P( z) 2） R( z ) = = = X + iY = X iY ;Q( z ) Q( z) Q( z)3）事实上( )nn1P z = a0 z + a1 z+ + an1 z + an4= a0 + a1z + a2 z 2 + + an z n = P(z )13
