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1、2019年北师大版精品数学资料第7课时平面向量数量积的坐标表示1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢?问题1:设i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,则有:ii=;ij=;ji=;jj=.问题2:已
2、知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=,即两个向量的数量积等于.问题3:用坐标表示向量的模(1)若a=(x1,y1),则|a|=;(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=.问题4:向量夹角公式、平行或垂直的坐标表示式(1)cos =;(2)ab;(3)ab.1.在平面直角坐标系xOy中,已知O(0,0),A(0,1),B(1,),则的值为()A.1B.-1C.D.+12.向量a=(3,4),b=(x,2),若ab=|a|,则实数x的值为().A.-1B.-C.-D.13.若向量a=(1,1),b=(-1,2),则ab等于.4.已知a=(1,),b=(+1
3、,-1),求a与b的夹角.向量垂直的坐标运算已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)a,且|xa+yb|=1.向量坐标运算中的最值问题已知O为原点,A(a,0),B(0,a),a为正常数,点P在线段AB上,且=t(0t1),求的最大值.向量垂直的坐标公式的运用在ABC中,=(1,1),=(2,k),若ABC为直角三角形,求实数k的值.平面向量a=(,1),b=(,-),若存在不同时为0的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t).ABC中,有, M是BC的中点.(1)若=,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线
4、段AM上任意一点,且=,求+的最小值.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a(2a-b)=0,则k=().A.-12B.-6C.6 D.122.已知=1,=6,a(b-a)=2,则向量a与b的夹角为().A.B.C.D.3.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=.4.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b与a垂直,求的值.(2013年浙江卷)设e1,e2为单位向量,非零向量b=x e1+y e2,x
5、,yR,若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.考题变式(我来改编):答案第7课时平面向量数量积的坐标表示知识体系梳理问题1:1001问题2:x1x2+y1y2它们对应坐标的乘积的和问题3:(1)(2)问题4:(1)(2)x1y2-x2y1=0(3)x1x2+y1y2=0基础学习交流1.B由已知得=(0,1),=(1,-1),=01+1(-1)=-1.2.A由ab=|a|得,3x+42=5,即3x+8=5,解得x=-1.3.1a=(1,1),b=(-1,2),ab=(1,1)(-1,2)=-1+2=1.4.解:由a=(1,),b=(+1,-1)得,ab=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2
6、.记a与b的夹角为,则cos =.又0,=.重点难点探究探究一:【解析】由a=(3,4),b=(4,3)得,xa+yb=(3x+4y,4x+3y).又(xa+yb)a,所以(xa+yb)a=0,即3(3x+4y)+4(4x+3y)=0,即25x+24y=0.又|xa+yb|=1,所以|xa+yb|2=1,即(3x+4y)2+(4x+3y)2=1,整理得25x2+48xy+25y2=1,即x(25x+24y)+24xy+25y2=1.由有24xy+25y2=1,将变形代入可得y=,再代回得,或【小结】根据向量垂直和向量模的坐标表示求解即可,注意仔细计算.探究二:【解析】设P(x,y),则=(x-
7、a,y),=(-a,a),由=t得,解得=(a-at,at),又=(a,0),=a2-a2t,a0,可得-a20,又0t1,当t=0时,=a2-a2t有最大值a2.【小结】将的最值问题转化为求有关函数的最值问题是解决本题的关键.探究三:【解析】ABC为直角三角形,A=90,=0,又=(1,1),=(2,k),12+1k=0,即k=-2,当k=-2时,ABC为直角三角形.问题B、C不能是直角吗?结论本题在解答过程中,应考虑ABC三个内角都可能为直角的情况.因此,正确解答如下:ABC为直角三角形,A=90或B=90或C=90,若A=90,则=0,又=(1,1),=(2,k),12+1k=0,即k=
8、-2.若B=90,则=0,又=-=(2,k)-(1,1)=(1,k-1),即得1+(k-1)=0,k=0.若C=90,则=0,即2+k(k-1)=0,而k2-k+2=0无实根,所以不存在实数k使C=90.综上所述,当k=-2或k=0时,ABC是直角三角形.【小结】对ABC三个内角中哪个角为直角进行分类讨论是解决本题的关键.思维拓展应用应用一:由a=(,1),b=(,-)得,ab=0,|a|=2,|b|=1,由xy得,a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,即-ka2+tab-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0,整理得,-4k+t3-3t=0,k=(t3-3t),f(t)=(t3-3t)
9、.应用二:(1)设向量+2与向量2+的夹角为,=a,=,(+2)(2+)=2+5+2=4a2,|+2|=a,同理可得=a,cos =.(2)=,=1.设=x(0x1),则=1-x,而+=2,(+)=2=2cos =-2x(1-x)=2x2-2x=2(x-)2-,当且仅当x=时,(+)取最小值,最小值为-.应用三:(1)设c=(x,y),|c|=2,即x2+y2=20, ca,a=(1,2),2x-y=0,即y=2x.联立得,或c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0.=5,=,代入式得ab=-,cos =-1.又0,=.基础智能检测1.D因为a(2a-b)=0,所以(2,1)(5,2-k)=0,即10+2-k=0,即k=12.2.B设a与b的夹角为,=1,=6,a(b-a)=2,ab=2+a2=3,则cos =,=.3.5b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3),所以ab=1(-1)+23=5.4.解:a+b=(+4,-3-2),a+b与a垂直,则(+4)1+(-3-2)(-3)=0,所以10=-10,=-1.全新视角拓展2对于b2=(xe1+ye2)2=x2+y2+2xycos =x2+y2+xy,而()2=4,因此的最大值是2.思维导图构建
