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1、412圆的一般方程教学设计4.1. 2圆的一般方程教学设计三维目标：知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方 程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方 程x+ y ：+Dx+Ey+F二0表示圆的条件.(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方 程.能用待定系数法求圆的方程。(3 ):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法:通过对方程x2+ y 2+Dx+E y +F二0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及 分析解决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提髙学生的整体素质，激励 学生创新，勇于探索。教
2、学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：课题引入：问题：求过三点A (0.0), B(l, 1),C(4,2)的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那 么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形 式一一圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(Xa) ? + (y b)3= r3,圆心(a , b),半径 r .把圆的标准方程展开，并整理：x =+yc2 a
3、 x- 2 by+a +b=-r = 0 .取 D = -2a,E = -2b,F = a2 +h2-r2Wx2 + y2 + Dx + Ey + F = Q 这个方程是圆的方程.反过來给出一个形如x =+y2 +Dx+Ey+F二0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x：+y：+ D x +Ey+F二 0 配方得(x + -)2+(y + -)2 = L) + E-41.(配方过程由学生去完成)这个方程是不224是表示圆？当D=+E=-4F 0时，方程表示(1)当D2+E2-4F 0时，表示以(-# ,-刍)为圆心；如+L4F为半径的圆；2 2(2)当D2+E2-4F = 0时，方程只有实数解
4、x = -, y = -,即只表示一个点2 2(3)当)2 + F 4f v o时,方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程F +于+ Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一泄是圆.只有当2+E2-4F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.(x+l)，+尸=4我们來看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1) 和+的系数相同，不等于0.没有x y这样的二次项.(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元
5、二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，儿何特征较明显。知识应用与解题研究: 例1 :判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。(1) 4x2+4y2-4x + 12y + 9 = 0(2) 4x2+4y2-4x + 12y + ll=0学生口己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的 一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于(1)4F+4y2_4x+12y+9 = 0來说，这里 的oD = -1,E = 3,F =而不是D二4, E二 12, F二9.4例2：求过三点A (0.0) ,B (1.1), C (4,2)的
6、圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析:据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确泄三个系数, 而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx + Ey + F=0 A(0,0),B(l,l) ,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上而的方程,可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，F = 0即D+E+F+2=04D + 2E + F + 20 = 0解此方程组，可得：D = & E = 6, F = 0.所求圆的方程为：x2+y2-Sx + 6y = 0r = -VD2+E2-4F =5 ;- = 4
7、,- = -3.2 2 2得圆心坐标为(4, 3).或将x2+y2-8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x - 4)2 +(y + 3)2 =25，从 而求岀圆的半径r = 5,圆心坐标为(4,-3)学生讨论交流，归纳得岀使用待左系数法的一般步骤： 、根据提议,选择标准方程或一般方程； 、根据条件列岀关于a、b、r或I)、E、F的方程组： 、解岀a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆上(工+ 1) +戸=4运动,求线 段AB的中点M的轨迹方程。分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方
8、程（a-+1）2 + v2=4o建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条 件,求出点M的轨迹方程。解：设点 M 的坐标是（x, y ）, 点 A 的坐标是 （x（）, X）.由于点B的坐标是（4,3）且M是线段AB的重点，所以2 ， 2 于是有勺=24,儿=2y - 3因为点A在圆（x+l）2 + y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程（x+1）2+/=4,即 （A0 + l）2+y02=4（A-0 + l）2+y02=4把代入，得/?130=1(2x_4+l)2+(2y 3)2=4,整理，得仁-三 2所以，点M的轨迹是以（謝为圆心,半径长划的圆课堂练习:课堂练习戸30第1、2、3题小结：1 对方程x2 + y2 + Da +Ey + F = O的讨论（什么时候可以表示圆）.2与标准方程的互化.3.用待泄系数法求圆的方程.4求与圆有关的点的轨迹。课后作业：戸3。习题41第2、3、6题
