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1、专题十八 最短路线知识聚焦：渗 及 定 理： 1.两点之间，线段最短。 2.垂线段最短。常用思考的方式：1.把立体图形转化成平面图形 2.通过轴对称寻找对称点 3.代数问题构造几何模型求解。例题导航：1.如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 。2. E是正方形ABCD的边AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 3. 如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为
2、4.如图，河岸l同侧的两个居民小区AB到河岸的距离分别为a米、b米（即AA=a,BB=b米），AB=c米，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小（1）在图中画出绿化带的位置。 （2）求AC+BD的最小值。5.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x。（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）试问点C满足什么条件时，AC+CE的长度之和最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请你构图求出代数式的最小值。能力达标：1.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，
3、河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是( )2.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是（）3. 如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）4.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线B
4、D上一点，则PM+PN的最小值为（ ） 5.如图，在RtABC中，C=90，B=60,D是BC边上的一点，CD=1，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是 6.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，0），P是直线y=x上的一点，当PA+PB最小时，试求点P的坐标。7.在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km、2km,AB=akm（a1）。现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水。方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=P
5、B+BA（km）（其中BPl于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A与点A关于l对称，AB与l交于点P）。观察计算：（1）在方案一中，d1=_（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=_km（用含a的式子表示）。探索归纳：（1）当a=4时，比较大小：d1（ ）d2（填“”、“=”或“”）；当a=6时，比较大小：d1（ ）d2（填“”、“=”或“”）；（2）请你参考下边方框中的方法指导，就a（当a1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还
6、是方案二？拓展提升：1.如图，等边ABC的边长为2，M是AB边的中点，P 是边BC上的一点，设PA+PM的最大值和最小值分别为s和l，则s2-l2为（ ）2.如图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上取一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，A=120，P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，则PK+QK的最小值（ ）4.如图，在锐角ABC中，BC=，ABC=45，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a= 6.求函
7、数的最小值。（提示：运用数形结合的思想。）7.在POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以点M为旋转中心，旋转三角形，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由8.在等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=AB=CD=2,C=60，M是BC的中点。（1）求证：MDC是等边三角形；（2）将MDC绕点M旋转 ,当MD（即MD）与AB交于一点E,MC即MC同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成AEF,试探究AEF的周长是否存在最小值,同时AEF的面积也最大.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出AEF周长的最小值和AEF的面积最大值.
