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1、在数学课堂教学中如何提炼重要的数学思想方法中学数学中蕴含的数学思想方法有许多，由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到课堂教学过程中。我认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有五个：整体思想、转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合与分离思想和分类讨论思想。突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。下面结合具体例子说明在课堂教学中如何提炼这些重要的数学思想。1整体思想整体思想是一种很重要的思想,灵活运用整体思想解题能够达到快速、简洁的解题的效果。它的特点是整体考虑问题，把某些式子看成一个“模块”来解决问题，这种思想可以说在中学数学教学中无处不
2、在，无时不在。例:已知f（x）=x5+ax3+bx+8，且f（2）=10，求f（-2）。解：设g（x）=x5+ax3+bx，则g（-x）=-g（x），g（-2）=-g（2）f（2）=g（2）+8=10；f（-2）=g（-2）+8=-g(2)+8由+得f(-2)=6本题将x5+ax3+bx看作一个整体，注意到g（x）=x5+ax3+bx是一个奇函数。使计算过程大大简化。2、转化与化归思想数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化与化归的思想，可化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。例1已知数列满足（I）求（II）证明（2003年高考
3、文第19题）分析：本题若从原递推式中迭代易求得但发现该数列不是特殊数列，难以求出（II）中的。如果用联系的观点看待，可用转化思想,将证明转化为求等比数列的前n项和的问题。（II）证明：由已知=例2：已知设P：函数在R上单调递减.Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围。（2003年高考理第19题）分析：本题如果数学转化意识不强，则解题的思路就会受阻，但对P、Q作等价转化变换，问题就简单明了。解：函数在R上单调递减不等式说明：恒成立；恒成立是高中阶段解含参数问题的非常重要的定理。3、函数与方程思想辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们
4、在教学中要非常重视函数的思想方法。用函数的思想解方程，一般是将方程转化为函数，从而利用函数的有关性质使问题得到解决，其中最典型的就是解一元二次不等式时要结合二次函数知识。例1：解方程：分析：观察方程左边，两项具有相同的结构，可把左边看成是一个函数的两种变式，运用函数思想来解。解：设，f(x)是奇函数，且f(x)是R上的增函数。原方程可变为，例2：证明方程有且仅有一个解。分析：本题运用函数思想，可将方程转化为函数，从而得到方程组使问题得证。解：设，则有将（2）代入（1），得,即，又设则f(y)为减函数，且f(1)=1，方程（3）有且仅有一个解y=1,将y=1代入（2）得x=16，即原方程有且仅有
5、一个解x=16。4、数形结合与分离思想“数”和“形”在数学中是既有区别又有联系的两个对象，在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。例：若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。分析：此题如果用代数方法来讨论方程的解的情况的方法来做，解题过程繁琐，但借助于图像直观解决，简单明了，注意最后还是要回到“数”中来，与“形”分离。解：原方程变形为即：设曲线y(x2),x(0,3)和直线y1m，如图所示。由图可知：当1m0时，有唯一解，m1;当11m4时，有唯一解
6、，即3m0,m1或30(a为常数，a)分析：含参不等式，参数a决定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故要对a0、a0、a0、a0，即时，(x4a)(x6a)0，所以分以下三种情况讨论：若a0时，解得：x6a；若a0时，x0，解得：x0；若a0，解得:x4a；（2）当a时，(x4a)(x6a)0，解得：6ax4a。有时同一个题目的解法中就含有上述数学思想方法中的几种，例如已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。分析：由条件，原题的解集为R-整体思想与转化思想设-函数思想当m=0时，不合要求。（2）当时，如右图，原题-分类讨论与数形结合思想综上(1)(2)知,。本题将函数定义域问题转化为解不等式问题，其中还将看成了一个整体，在不知不觉中运用了整体思想，其后还连续运用了函数思想、分类讨论与数形结合思想。这是一道蕴涵着丰富的数学思想方法的非常典型的题目，在高中数学各类练习中经常要碰到，在数学课堂教学中象这类例题要好好地加以提炼深化，这对提高学生的数学思想方法大有裨益。
