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1、第四章 坐 标 变 换一、学习目的通过本章的学习，使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和性质；熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用本章计划12学时，总结与复习3学时二、重点、难点 （一）教学重点：重点是点的直角坐标变换的定义和性质；（二） 教学难点：难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析。4.1 平面的仿射坐标变换4.1.1 点的仿射坐标变换公式 平面上给了两个放射坐标系：和。为说话方便起见，前一个称为旧坐标系，简记为；后一个称为新坐标系，简记为。点（或向量）在中的坐标系称为它的坐标（或旧坐标）；在中的坐标
2、称为它的坐标（或新坐标）。为了研究同一点的坐标与坐标的关系，就首先要确定与的相对位置。设的原点坐标的坐标是，设的基向量,的坐标分别是，。现在我们来求点的坐标与它的坐标之间的关系。图 4.1图 因为，所以 公式称为平面上坐标到的点的仿射坐标变换公式。它把任意一点的坐标表示成它的坐标的一次多项式。定理4.1 平面上点的仿射坐标变换公式的系数行列式不等于零，即证明：假设中系数行列式为零，则由定理1.4知，与共线矛盾。所以结论成立。由于公式中的系数行列式（记为）不等于零，因此把看成的方程组，可以求得唯一解：公式把任意一点的坐标表示成它的坐标的一次多项式，称它是到的点的仿射坐标变换公式。4.1.2 向量
3、的仿射坐标变换公式 现在来看平面上的向量的坐标与它的坐标之间的关系。设，其中的坐标为,的坐标为。则即 称为平面上坐标到的向量的仿射坐标变换公式，它把任一向量的坐标表示成它的坐标的一次其次多项式（即没有常数项），这是与点的坐标变换公式不同的地方。平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看，则点和向量的坐标都是有序实数偶，看不出点和向量的区别；但是如果取两个仿射坐标系（它们的原点不重合），通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式中有常数项，而向量的坐标变换公式中就没有常数项。 由于中系数行列式不为零，因此可反解出： 这是到的向量的仿射坐标变换公式。由看出，的基向
4、量的坐标分别是 。作业：习题4.1：3。4.2 矩阵及其运算4.2.1 矩阵的概念及矩阵的运算定义4.1 个实数排成行，列的一张.表称为一个矩阵。定义4.2 两个矩阵，如果它们的行数和列数相同，并且对应的元素都相等，则称它们是相等的矩阵，。（一） 矩阵的加法和数量乘法定义4.3 若都是矩阵，则，这种运算称为矩阵加法（或减法）。定义4.4 若都是矩阵，是实数，则，这种运算称为矩阵的数量乘法。矩阵加法（或减法）和数量乘法满足下述规律：对任意的矩阵，实数，有（二） 矩阵的乘法定义4.5若都是矩阵，都是矩阵，则规定乘以得到一个矩阵（记作），的元素是的第行元素与的列元素乘积之和，即的元素：，其中。矩阵乘
5、法满足下述规律：对任意的矩阵，实数，有（三） 矩阵的转置定义4.6 把一个矩阵的行、列互换得到的矩阵称为的转置，记为（或）。矩阵的转置满足下列规律：定义4.7 级矩阵如果满足：，则称是对称矩阵。4.2.3 方阵的行列式 若，则称是非奇异的；否者称为奇异的。定理4.2 若和都是级矩阵，则 定义4.8 若对于级矩阵，存在矩阵，使得,则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵。定理4.3 矩阵可逆的充分必要条件是（即非奇异）。命题4.1 若对于方阵，存在方阵，使，则是的可逆矩阵，并且。利用命题4.1容易证明可逆矩阵具有下述性质：（1） 若均是级可逆矩阵，则可逆，并且（2） 若可逆，则也可逆，并且（3） 若可逆，则
6、.4.2.5 正交矩阵定义4.9 若一个级矩阵适合 则称是正交矩阵。命题 4.2 级矩阵是正交矩阵的充分必要条件为.从而矩阵是正交矩阵的充分必要条件为.容易证明正交矩阵有下述性质：（1） 若均是级正交矩阵，则也是正交矩阵；（2） 若是正交矩阵，则也是正交矩阵；（3） 若是正交矩阵，则或（在证明这条性质时，要用到这一事实）。命题 4.3 是正交矩阵的充分必要条件为：的每一行元素的平方和等于1，每两行对应的元素乘机之和等于零，即 （4.16）命题4.4 是正交矩阵的充分必要条件为：的每一列元素的平方和等于1，每两列对应的元素乘机之和等于零。4.3平面直角坐标变换设，（IO;e1,e2,IIO;e1
7、,e2）都是直角坐标系，本章1和2中关于仿射坐标变换的一般结论和方法对于直角坐标变换都成立。本节来进一步研究直角坐标变换的特殊性。4.3.1直角坐标变换公式设的I坐标为的I坐标分别为，则I到II的过渡矩阵是A=定理4.4 设I和II都是直角坐标系，则I和II的过渡矩阵是正交矩阵；并且II到I的过渡矩阵是。证明 因为,并且I是直角坐标系，所以有 (4.18)由命题4.4知，是正交矩阵。II到I的过渡矩阵为，由于是正交矩阵，所以。I到II的点的直角坐标变换公式为：于是，II到I的点的直角坐标变换公式为：I到II的点的直角坐标变换公式为：于是，II到I的点的直角坐标变换公式为：。4.3.2直角坐标变
8、换中的过渡矩阵直角坐标系I到II的过渡矩阵虽然有四个数，但是由于它是正交矩阵，满足（4.18）中的三个方程，因此只有一个数是自由的。下面来详细讨论这点。平面上的仿射坐标系称为右手系，如果从逆时针旋转小于1800 的角与重合。反之称为左手系。对于直角坐标系来说，若旋转900与重合，则为右手系；若旋转-900与重合，则为左手系。设都是右手直角坐标系，。则有设反时针旋转角便与重合（如图4.2），分别讨论这四种情况，可得，从而I到II的过渡矩阵为。容易算出，。图4.2*类似上述讨论得到：设仍表示到的转角，若I是右手直角坐标系，II是左手直角坐标系，则I到II的过渡矩阵为；若I是左手直角坐标系，II是右
9、手直角坐标系，则I到II的过渡矩阵为；若I，II都是左手直角坐标系，则I到II的过渡矩阵为；定义4.10 平面（或空间）的两个坐标系，如果它们都是右手系，或者它们都是左手系，则称它们是同定向的；如果一个是左手系，另一个是右手系，则称它们是反定向的。从上面的讨论可以得到：命题4.5 设I和II都是平面的直角坐标系，设I到II的过渡矩阵是反定向的充要条件为。如无特别声明，今后所取的直角坐标系都是右手系。4.3.3 移轴公式和转轴公式设都是右手直角坐标系，到转角为，则I到II的点的坐标变换公式为若，则(4.23)成为,即 (4.24)(4.24)就是移轴公式。若O与O重合,则(4.23)成为 (4.
10、25)(4.25)称为转轴公式。 (4.23),(4.24),(4.25)说明，平面上任一右手直角坐标变换可以经过移轴和转轴得到，即对于右手直角坐标系，有或上述结论对于任意两个同定向的直角坐标系仍成立；但对于反定向的两个直角坐标系不成立。4.3.4 例例4.1 在平面上设轴在原坐标系中的方程分别为：，且新、旧坐标系都是右手坐标系。求I到II的点的坐标变换公式；直线在新坐标系中的方程；直线在原坐标系中的方程。解 设原坐标系为I，新坐标系。解方程组得。因此，的I坐标是（1,1）。因为轴的标准方程为：，所以轴的方向系数为（4,3）于是的I坐标为或。下面取的I坐标为，则由（4.23）得I到II的点的坐标变换公式为：。在新坐标系中的方程为：，即。II到I的点的坐标变换公式为：。在原坐标系中的方程为，即。例4.2 在平面右手直角坐标系中，求分式线性函数的图像。解 先将所给函数适当变形，从而看出应怎样作坐标变换才能使此图形的方程简单。于是得。从而看出只要作移轴，即，则该图形在新坐标系（其原点O的旧坐标为（）中的方程为，这是以新坐标系的x轴，y轴为渐近线的等轴双曲线，x轴，y轴在原坐标系中的方程分别为。图4.3作业：习题4.3：2，3，5，9。
