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1、第6讲 工程问题 多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化 1甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务如果甲单独加工，便需要12小时完成现在甲、乙两人共同生产了2小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务问乙一共加工零件多少个? 【分析与解】乙单独加工，每小时加工=. 甲调出后，剩下工作乙需做(82)()=(小时)，所以乙每小时加工零件420=25个，则2小时加工225=60(个)，因此乙一共加工零件60+420480(个) 2某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成如果由甲、乙两人合作，需48天完成现在甲
2、先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天 所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作6334=84天，即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程 现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作4234=56天，即乙还需单独工作11256=56天即可完成这项工程 3有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成? 【分析与解】 甲、乙、丙三个队
3、合修的工作效率为+=，那么它们6天完成的工程量为6=，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1 所以1=是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需=5(天)才能完成的工程量，所以甲队在6天内撤出了5天 所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成 4一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天? 【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天 即甲的工作效率是乙的，从而乙单独做12=8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间应是
4、： 8(1+l+)3(天)，因此共用326(天) 5抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的； 由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的；于是可知乙每天抄写书稿的. 所以乙一人单独抄写需要1=24天才能完成 6游泳池有甲、乙、丙三个注水管如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池
5、；乙、丙两管合开需要6小时注满水池那么，单开丙管需要多少小时注满水池? 【分析与解】 乙管每小时注满水池的-=, 丙管每小时注满水池的-=. 因此，单开丙管需要1=10(小时) 7一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成那么甲、丁两人合作多少天可以完成? 【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、. 对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)(乙，丙)=(甲，丁)即+=，所以甲、丁合作的工作效率为所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程 8一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成那么丙一
6、个人来做，完成这项工作需要多少天? 【分析与解】 方法一：对于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)(丙，甲)=2乙，即+=为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率为 而对于工作效率有，(乙，丙)乙=丙，那么丙的工作效率为 那么丙一个人来做，完成这项工作需1=48天 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)，所以(甲，乙，丙)=2，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为 那么丙单独工作的工作效率为，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天 9某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第
7、1、3、4小队合干需要42天才能完成那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程? 【分析与解】 由已知条件可得，对于工作效率有： (1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)所以5个小队一起合作时的工作效率为： （2）3所以5个小队合作需要6天完成这项工程.评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的. 10一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍则该水箱最多可容纳多少吨水? 【分析与解】 设
8、甲管注入18吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为27180.5=0.75. 以下采用两种方法： 方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水 所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水 方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的 再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等
9、于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水 11.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完问水池中原有水多少立方米? 【分析与解】 甲每小时注水10010=10(立方米)， 乙每小时注水10015=(立方米)， 设排水管每小时排水量为“排”，则(“排”10)3=(“排”10)，整理得3“排”3=“排”10,2“排”=40，则“排”=20 所以水池中
10、原有水(2010)2=20(立方米) 12一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管? 【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，那么有： 4“进”“排”=， 2“进”“排”=. 所以有，2“进”=()=，那么“进”=，则“排”=.题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有：x“进”“排”=，即x=，解得x=8.5 所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满 13蓄水池
11、有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时现在池内有池水如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池? 【分析与解】 方法一：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的=. 最优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条管子中最大的 那么在最优情况下：完整周期只需注入1池水 所需周期数为4 那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水5= 剩下l池水未灌满，而完整周期后l小
12、时内为甲注水时间，有 (小时). 所以，需5个完整周期即20小时，再加上小时，即20小时后水开始溢出方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的= .加上池内原有的水，池内有水：=. 再过四个4小时，也就是20小时后，池内有水：4=，在20小时后，只需要再灌水1,水就开始溢出 = (小时)，即再开甲管小时，水开始溢出，所以20+=20(小时)后，水开始溢出水池 方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的.一个周期后，池内有水：=,有待注入； 二个周期后，池内有水：=,即有先待注入； 三个周期后，池内有水：，有待注入；
13、 四个周期后，池内有水：，即有待注入； 五个周期后，池内有水：，即有待注入 而此时，只需注入的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有= (小时)，即再开甲管小时，水开始溢出，所以20+20 (小时)后,水开始溢出水池 评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓 有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间? 14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空如果打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间? 【分析与解】 设这个水池的容量是“1” A管每小时排水量是：+每小时渗入水量； B管每小时排水量是： +每小时渗入水量； C管每小时排水量是： +每小时渗入水量； A、B两管每小时排水量是：+每小时渗入水量因为+每小时渗入水量+每小时渗入水量=+每小时渗入水量，因 此，每小时渗入水量是：（）.那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：于是打开B、C两管，将水池排空需要 1（-）=1=4.8（小时）.
