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1、微积分在物理教学中的应用课题研究报告兰州市第二中学 王国士一、 课题研究的背景 中国教育改革和发展纲要指出：“国际竞争日趋激烈，科学技术发展迅速。世界范围的经济竞争，综合国力竞争，实质上是科学技术的竞争和民族素质的竞争。从这个意义上说，谁掌握了面向21世纪的教育，谁就能在21世纪的国际竞争中处于战略主动地位。为此，必须高瞻远瞩，及早筹划我国教育事业的大计，迎接21世纪的挑战。”这既给我国的教育事业指出了明确的目标，也提出了更高的要求。为此，国家教育部基础教育司编订的全日制高级中学物理教学大纲(供试验用)(即新大纲)已经在全国推广，这是一个在二十一世纪实施的新大纲。新大纲注意按照纲要的精神，从培
2、养21世纪合格人才的角度思考问题，注意将高中的物理教育置于全面发展、提高国民素质的大目标下。大纲在说明的开始部分就强调高中物理教学“应遵循教育要面向现代化、面向世界、面向未来的战略思想，贯彻国家的教育方针，为实现普通高中的任务和培养目标更好地作出贡献。”这种将单科教学置于整个高中教育之中，放眼世界、放眼未来的教育观点，有助于为我国的四化建设培养素质高、全面发展的新型人才，同时也体现了和九年义务教育的整体教育思想相一致的精神。这种教育观点除在大纲的开始就明确提出外，在以后的内容选择、能力培养等方面也都有具体体现。 物理学是一门自然科学，回顾物理学产生和发展的过程，可以看出物理实验自始至终都占有极
3、其重要的地位。无论是经典物理学的建立和发展，还是现代物理学的进展都与数学息息相关。高中物理是高中阶段的一门重要课程，高中物理的课程设置、教学内容和教学要求要为实现普通高中的任务和培养目标更好地作出贡献，以适应社会主义现代化建设对人才的需要。在高中的各门基础课程中，物理课在提高学生的科学素质方面起着无可替代的作用，数学知识在物理教学中更是占有着举足轻重的地位。加强数学教学，提高物理教学效果和开发学生创造能力，在加强素质教育的今天，显得更加突出，尤为重要。 二、课题研究的意义 新的全日制普通高级中学物理教学大纲再一次强调了注重数学在物理教学应用，其中心思想是希望从面向21世纪提高受教育者科学技术文
4、化思想素质的高度出发，提高利用数学工具解决物理问题的能力，改变在物理教学中的薄弱状况。 鉴于数学知识教学的地位和作用，我们不仅应该重视实验，而且应该在理论教学中认真贯彻以实验为基础的原则。 三、概念的界定和理论依据 高中新课程改革以后,物理教材上对知识的讲述更讲究原理上的精确性,同时高中数学教材已经把微积分、向量、矩阵等纳入学习范围,这就使得学生处理物理问题的数学方法得到很大的提高,也为高中物理的学习提供了更好的数学工具。特别是微积分知识的学习,使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升,解决一些非线性变化的问题;而且也可以利用微积分的方法来定义一些物理概念或描述物理规律,以提高学生对概念和规律
5、的认识，微积分和微元法有助于高中概念的理解和规律建立，另一方面微积分学习也为学生进入高等学校进一步学习大学理工科打下了必要的基础。 四、课题研究的目标和方法 （一）课题研究的目标 中学物理教学中可利用微积分知识解释物理量变化率,解决有关函数极值的问题,解答利用初等数学难易解决的问题,利用导数解决物理问题可加深对物理概念的理解,简化解题过程,减小运算量,降低计算难度,提高解题的准确性。中学物理中研究的很多问题都是实际问题的近似和简化,是一理想化的过程、状态和模型,对复杂一些的问题用初等数学方法分析、计算、处理很勉强，思维障碍大，计算过程繁杂，学生不易接受，处理结果误差较大，总不令人十分满意，如用
6、积分法求解,可使结果较符合实际，以加深对物理概念和规律本质的认识，降低计算难度,提高解题的准确性，以上问题是本课题研究的重点。（二）课题研究的方法查阅收集同类课题在国内外的研究动态，比较分析新旧数学教材的变化，比较分析新旧教材对数学知识的要求，教学的课程变革和为课题研究人员设计的问卷调查表。 文献法学习有关文件，上网查找资料，寻找同类课题在国内外的研究动态，以形成课题研究的方法和思路。行动研究法根据研究目标，运用人为手段进行变量控制来设计实验教学，然后分析总结，重新用来指导教育教学实践。 五、课题研究的结果 数学是物理学重要的语言和工具,它能简洁、准确地表达物理概念和物理规律。运用数学方法解决
7、物理问题的能力，是中学物理教学目标之一。高中数学新课程在选修C系列中增入了有关微积分的初步知识,学生在高二后已经初步掌握了微分和积分的思想和方法。微积分思想丰富了我们处理新课程高中物理问题的手段，拓展了思维，这为我们高中物理教学中表达物理概念和规律提供了丰富和准确的语言，也为我们解决高中物理复杂物理问题提供了方便实用的工具。一、应用微分法讨论物理极值问题在高中物理问题中常见讨论极值问题，一般方法是先根据相关规律建立物理方程，找到两个物理量的函数方程，再讨论当自变量取何值时另一个因变物理量有极大值或极小值。在学生掌握微分知识之前，我们常运用初等数学方法讨论，往往过程比较复杂，成为解决物理问题的难
8、点。但如果我们运用微分法讨论物理极值问题会使问题讨论变得十分简单。微分法求极值也常运用在两个物理量间是二次函数关系的极值问题中，这要比初等数学中的配方法、重要不等式法去讨论极值问题更简明。二、运用定积分求解变量累积问题。在物理学中有很多物理量是另两个物理量的积累，如：功是力在空间的积累、冲量是力在时间上的积累、位移是速度在时间上的积累、电量是电流在时间上的积累等。由于考虑到学生没有微积分工具，多数情况下，中学物理只是讨论恒量的累积问题，这就使得很多中学阶段的物理量的表达欠缺科学性和严密性，当遇到变量累积问题求解时，学生要么是不顾条件乱套公式，要么是滥用算术平均值法求解，多数情况则是束手无策。“
9、变”是微积分的精髓，在学生掌握了微积分工具后，上述问题就迎刃而解了。三、应用微积分表达和理解物理量和物理规律在高中物理中有很多需要运用微积分才能准确表达的物理概念，比如瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势等都运用到微分思想方法。加速度概念和匀变速直线运动律是高中物理的重点知识。由于教材和传统教学中运用初等数学无法给出瞬时加速度确切定义，只是通过匀变速直线运动的加速度不变，平均加速度等于瞬时加速度去认识和理解加速度。遇到变加速度的问题是学生就很茫然了。到了高三复习阶段学生已经掌握了微积分，对物理规律的认识更加理性和定量化了，有必要帮助学生对已经掌握的知识进行升华并引导学生去寻找描述物体运动的物理量间
10、的内在联系，让学生对位置、位移、速度、加速度有准确和更本质的认识。即认识到，位移是描述位置的变化的物理量，位移对时间的变化率即是速度，速度对时间的变化率即是加速度。运用数学中函数导数的意义和函数求导的方法，只要能找到匀变速直线运动的st函数关系，对st求导就能得到vt函数关系，对vt函数求导数就能得出at函数关系。学生只要知道匀变速真线的位移公式就能推出速度公式和加速度公式。根据法拉第电磁感应定律，感应电动势与回路中磁通量的变化率成正比。只要能确定回路中磁通量随时间变化的函数关系，我们就可以通过这个函数求导来得出感应电动势的瞬时值。例如，闭合线圈在匀强磁场中匀速转动产生交变电流是高中物理的一个
11、难点。学生对在线圈平面通过中性面瞬间线圈的磁通量最大，但感应电流为零很难理解。我们运用三角函数的导数公式知，正弦和余弦函数互为导函数，如果磁通量随时间变化函数式是msint，其导函数则为，=mcont。学生就容易理解磁通量和感应电动势就必然是一个零值和最值在同一时刻出现。运用同样的物理思想和数学方法，学生也能对按正弦函数规律变化的电场激发按余弦函数的磁场，按余弦函数规律变化的磁场又激发按正弦函数规律变化的电场，这样生生不息产生相互联系的电磁场，对抽象深奥的麦克斯韦的电磁场理论核心理解就会容易得多。总之，微积分在高中物理中的应用的切入点是很多的，但由于新课程高中物理教科书没有引入用微积分解决物理问题的方法，这就要求我们在高中物理新课程的教学中加强对新课改后高中数学体系的了解，选准切入点，把微积分思想和方法适时地应用在高中物理教学中，这对培养和提高学生应用数学知识解决物理问题的能力无疑是十分有益的。同时，我们建议在新课程高中物理教科书再版时，适当增加微积分在物理中应用的例题和练习。
