《初中数学竞赛精品标准教程及练习70正整数简单性质的复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛精品标准教程及练习70正整数简单性质的复习（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(70)正整数简单性质的复习一. 连续正整数一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9102个，那么 n位数的个数共_.(n是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码个. 2.由连续正整数写成的数12349991000是一个_位数； 10011002100319881989是_位数. 3. 除以3余1的两位数有_个，三位数有_个，n位数有_个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数_个，含 3的倍数_个； 从50到1000的正整数中，共有偶数_个，含3的倍数_
2、个.二. 连续正整数的和：1+2+3+n=(1+n).把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+100=_.6. 1+3+5+99=_.7. 5+10+15+100=_.8. 1+4+7+100=_.9. 1+2+3+1989其和是偶数或奇数？答_10. 和等于100的连续正整数共有_组，它们是_.11. 和等于100的连续整数共有_组，它们是_.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+(4+5)=95=45；123499100各位数字和是(0+99)+(1+98)+(49+50)
3、+1=1850+1=901.练习：12. 整数 12349991000各位上的数字和是_.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：这个数用9除的余数是_.14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数123499100中： 它是一个_位数； 它的各位上的数字和等于_； 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是_.四.连续正整数的积： 123n 记作n ! 读作n的阶乘. n个连续正整数的积能被n!整除.如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)(a+n1). a为整数. / n! 中含有质因数m的
4、个数是+.x表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3 min如：12310的积中，含质因数3的个数是：=3+1=4练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：_16.一串数1，4，7，10，697，700相乘的积中，末尾共有零_个 17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a21)(a+2) a为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.二. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作：an10n+an110n1+a110+a0 其中n是正整数，且0ai9 (i=1,2,3,n)的整数, 最高
5、位an0.例如：54321=5104+4103+3102+210+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=1213143233. 试证：A能被99整除.证明：A=121042+131040+141038+31104+32102+33 =1210021+1310020+141019+311002+32100+33. 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n=(99+1) n1 (mod 9) A=99k+12+13+14+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23) =99k+4511 =99k+995.A能被99整除.练习：20
6、. 把从19到80的连结两位数连写成192021227980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例=10 n1, =(10 n1), (10 n1).例题：试证明12，1122，111222，11112222，这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n个数是=10 n+ =(10 n+2)=. 证毕.练习：21. 化简 +1=_.22. 化简 =_.23. 求证 是合数.24. 已知：存在正整数 n,能使数被1987整除. 求证：数p=和 数q=都能被1987整除. 25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13
7、)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证：15+1是完全平方数.三. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4；a=3时，N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整数，r=1,2,3,4. 特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b)N (ab)=010 |(ab).3. 若N (a)=a0, N (b)=b0. 则N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0).例题1：求53100 ；
8、 和 7的个位数.解：N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数.77=777+7=7(761)+4+3=7(721)(74+72+1)+4+3 =7412 (74+72+1)+4+3 =4k+3 N(7)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是_，9的个位数是_.28. 求证：10 | (1987198919931991).29. 2210331577205525的个位数是_.二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，102的
9、个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和 例题1. 填空：12，22，32，1234567892的和的个位数的数字是_. 解：12，22，32，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)(12345678+1)的个位数5. 2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个
10、连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n2)2+(n1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)5(n2+2)=k2 . k2是5的倍数，k也是5的倍数.设k=5m, 则5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2.n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3. 假设不能成立 任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知：a是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平方数 证明：a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数 a2 a(a+1)+1=a2+a
11、+11的正整数) 不是完全平方数 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 =4k+11=4k+42+3=4(k+2)+3即除以4余数为3，而不是1，它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2. 这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常
12、见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5(即10的一位正约数是魔术数)b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数)c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_.四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：_. 四. 质数、合数1. 正整数的一种分类：2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1234567891011那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8
