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1、第16讲 逻辑推理内容概述体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题典型问题 1共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分问总分第二名在铅球项目中的得分是多少? 【分析与解】 每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分
2、，所以4个单项的总分为114=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为分 其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分； 那么第二名只能为12分，此时第四名4分 于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是5+5+5+2，4只能是1+1+1+1. 不难得到下表：由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分 24支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数问：输给第一名的队的总分是多少? 【分析
3、与解】 四个队共赛了场，6场总分在12(=62)与18(=63)之间 由于是4个连续自然数的和，所以=234=514或=3+4+5=18 如果=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾 所以=14，14=32+24表明6场中只有2场分出胜负此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2 则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名 即输给第一名的队得4分 如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条，表示胜各队用它们的得分来表示评注：常见的体育比赛模式个队进行淘汰赛，至少要打
4、场比赛：每场比赛淘汰一名选手；个队进行循环赛，一共要打场比赛：每个队要打场比赛循环赛中常见的积分方式：两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分；核心关系：总积分=2比赛场次；三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分；核心关系：总计分=3比赛场次-1赛平场次 3 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分? 【分析与解】 每轮赛3场，最多产生分，四轮
5、最多分现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为 前三名得分的和至少为 所以后三名的得分的和至多为 第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为这不可能，所以第5名最多得3分，图()为取3分时的一种可能的赛况图 显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况： 4某商品的编号是一个三位数现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字那么这个三位数是多少? 【分析与解】 方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765，
6、123，364，925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个2，个位上有两个4和两个5 因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同 若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7) 若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724 如果一个数与商品编号在某一
7、位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的 方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5 如果是3，那么874，765，364，925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾 如果是5，那么765，925的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾 所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724 即这个三位数为724 5某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小
8、的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁求最大的男孩的岁数 【分析与解】 本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩 当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为岁，则4岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意； 当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为104=6岁.则4岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在68之间，显然得不到满足 于是，最大的男孩为8岁 6某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试 A说：“我得了94分” B说：“我在5个人中得分最
9、高” C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数” D说：“我的得分恰好是5个人的平均分” E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二” 问这5个人各得了多少分? 【分析与解】 B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得5人平均分的人为最后一名，显然不满足 于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96(如果为100，则B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94，有E比C高2分，则E、D、C、A得分依
10、次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98，显然B得不到104分 所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94 7在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶其命中情况如下： 每人4发子弹所命中的环数各不相同； 每人4发子弹所命中的总环数均为17环； 乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样： 甲与丙只有1发环数相同； 每人每发子弹的最好成绩不超过7环 问：甲与丙命中的相同环数是几? 【分析与解】 条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之 第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7环、四发子弹命中的环型不相同，和为17环的所有情况； 第二步：在这些情况中去掉不符合条件、的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案 满足条件、的只有如下四种情况： 从上述四个式子中看出式A与式B有数字1、7相同；式B与式D有数字4和5相同式B既与式A有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙 式A与式D对应为甲和丙 式A与式D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6
