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1、向量复习平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向 线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是 +婴）；I AB I（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，夷等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量疽、b叫做平行向量，F记作：a / b，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线 向量不一定相等；两
2、个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包 含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 0 ）；三点A、B、C共线。AB, AC共线；fc-b-（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如下列命题：（1）若a = b，则a = b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB = DCABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边 形，则AB = DC。（5）若a = b,b = c，则a = c。其中正确的是（答：（4） （5）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示
3、，如AB，注意起 点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等;（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a = xi + yj = （x, y），称（x, y）为向量a的坐 标，a = （x，y）叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平 面内的任一向量a，有且只有一对实数人、入，使a=人e +人e。如（1）若a = （1,1）b =121 12 2-,13-（1,-
4、1）,c = （-1,2），则c =（答：ab ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有 22向量基底的是 A.匕=（0,0）,乌=（1,-2） B. e1 = （-1,2）,e2 = （5,7） C.匕=（3,5欣=（6,10D. e = （2,-3）,e =（史-3）（答:B）；已知 AABC 中，点 D 在BC边上，且 CD = 2D，1224 CD= r A?+s京，则 r + s 的值是（答：0）F、实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作人a，它的长度和方向 规定如下：（1）M =|人| a|,（2）当人0时，人a的方向与a的方向相同，当人0时，人a 的方向与a的方向相反
5、，当人=0时，人a = 0，注意：人a 乂0。5、平面向量的数量积： tf（1）两个向量的夹角：对于非零向量a , b，作OA = a,OB = b , ZAOB =0（00 n）称为向量a，b的夹角，当0 =0时，a，b同向，当0 =兀时，a，b反向，兀-当0 = 一日时，a，b垂直。_2（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为0，我们把数量 TTffTTI a II b Icos0叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a b，即a b = a b cos0。 规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1） ABC 中, I 面 1
6、= 3，I AC I= 4，I BC1= 5，则 ABBC = （答：一9）；（2） 八 八1、，“1兀 m 一二 、已知 a = （1）,b = （0, ）,c = a + kb,d = a b， c 与 d 的夹角为一，则 k 等于（答：1）;224（3）已知|a卜2,|b| = 5, ab = 3，则|a + b|等于 （答：后）；（4）已知a, b是两个非 零向量，且a = b = a b，-则a与a + b的夹角为 （答：30 ）F0（3）b在a上的投影为I b Icos0-，它是一个实数，但不一定大于0。如已知I a I= 3，一 一 一-12I-I= 5，且-舌=12了则向量a在
7、向量另上的投影为（答：彳） ir fa-* b-fc- b-（4）a b的几何意义：啜量积a b等于a的模I a I与b在a上的投影的积。*fc-（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为0,则： a b o a b = 0 ； 当a，b同向时，a b = a b，特别地，a2 = a a = a2, a = JO2 ；当a与b反 向时，a b = 一加倒；非零向量a，b夹角0的计算公式：cos0a b I a II b I。如已知-=（人,2人），-=（3人，如果-与-的夹角为锐角，则人,4 八、1,的取值范围是（答：人 3则m =一答：5工(2)项原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，乙ZB = 90，则点B 的坐标是 一_(答：(1,3)或(3，1)；10.线段的定比分点：(1) 定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于PP2的任意一点，若存在一个 实数X，使PP =xpp，则X叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段PP121 21 2的以定比为X的定比分点；(2) X的符号与分点P的位置之间的关系：当p点在线段p P2上时oX0；
