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1、提升学生对算理的理解与算法的内化第二中心小学 曹莎全日制义务教育数学课程标准（实验稿）在“知识与技能”的目标中明确要求学生“掌握数与代数的基础知识和基本技能”。计算技能作为一种数学心智技能，其掌握并不是自然的，需要通过有效的学习才能获得。但计算教学又不应仅仅着眼于技能的形成，而应探讨并努力实践如何将“基本技能”变成发展学生各种“过程能力”（如探究、推理、交流等）的基础。因此，我们必须重视学生在理解算理的基础上构建算法的过程。算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中思维方式，是解决为什么这样算的问题。算法是计算的方法，其内涵是由已知推出未知的程序，解决的是怎样算的问题。算法是一种经过压缩的、一般
2、化的计算程序。算理与算法是对立统一的。算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化，它们是相辅相成的。相关的研究表明，算法是自动化的，即使在不知道其背后原理的情况下，仍可以掌握和使用。这就十分清楚地揭示了曾经的计算教学中，我们并不十分重视学生对算理的理解，而学生仍然可以经过反复操练掌握和使用算法的原因。对这一问题的认识提供给我们的启示是：学生需要掌握算法，但更需要经历构建算法的过程，实现算
3、理和算法的内在统一。 在小学阶段，学生对于算理和算法的学习，主要体现在整数、小数和分数的口算和笔算中。人教版小学数学三年级下册的课程标准教材着眼于数学知识本身的结构和学生的认知规律，精心设计了引导学生理解算理、构建算法的活动线索，依照口算、估算、笔算的循序渐进模式有意识地突出了“过程能力”的培养。一、根据情景激活已有知识、借助操作初探算理小学阶段学生的思维特点以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡。因此，在计算教学中要十分重视引导学生观察情境图中具体的学习对象，发现有价值的信息，为理解算理、构建算法提供直观的帮助。数学学习总是循序渐进、螺旋上升的。先前的学习是后继学习的基础。教师在教学新的
4、计算内容时，应注意激活学生已有的知识，并灵活运用这些知识帮助理解算理，实现对算法的构建。以“除数是一位数的笔算除法（被除数为两位数）”的教学为例，教材结合解决简单的实际问题呈现了如下情境：情境中的主体部分是三年一班与三年二班共植树42棵。学生在观察情境图的基础上可以收集有价值的信息，并提出关于除法的数学问题、列出算式422。对于这一新知，三年级的同学们会很快联想起“平均分”的已有操作活动，摆小棒，并能很快得到答案，情感上得到满足。先将4捆小棒平均分为两份，每一份有2捆即20根；再将其余4根小棒平均分为两份，每一份有2根；最后将两部分相加就是平均每一份有24根小棒。这种先分整捆再分单根最后合并的
5、摆小棒过程实际就是初探算理的过程。这一操作并不是多余的，可以为后学学生算理的理解提供良好的依据。有的学生能联想到一位数除以一位数的笔算除法，这时，教师可以适当地放手学生计算并小组讨论如何解决计算中发现的问题。为后继相关计算中的算理理解与算法总结奠定基础。二、深入理解算理、构建一般性的算法在经历学生探索发现问题以后，教师可以引导学生重温摆小棒的过程并且用算式402=20（根）记录第一次分小棒；用22=1（根）记录表示第二次分小棒；用20+1=21（根）表示平均每份小棒的根数。明确计算的步骤和每一步所得的结果后，可以允许学生用这一“原始”的方法：“先分捆再分根最后合”进行适当的巩固练习，以帮助学生
6、真正掌握两位数除以一位数的算理与算法。在此基础上，再简化成规范的竖式。事实上，在这一计算内容的教学中，算理的理解对算法的构建起到了支撑性的作用。三、迁移运用经验，结合算理构建发展性的算法因为一位数除以一位数的计算是学生已有的经验，因此，根据“商乘减落”大多数学生是可以根据分小棒的经验完成第一步十位上计算的。这一新知的发展点在于接下来该算什么，算得的积是多少，写在哪里。两位数除以一位数首位除后没有有余数的笔算除法，学生按照已有的计算经验尝试笔算，一般会遇到的困难是商2怎么办。这时教师要结合分小棒操作以及分布算式引导学生，先用十位上的数字当被除数是“先分捆”商2写在十位则代表20，因此乘下来的也应该理解为40，因为在十位故40中的0可以省略。同理，个位为被除数则表示“再分根”。教材用红色方框提示学生要省略十位上减得0以及减号。结合操作和提示，学生就容易跨越新的计算的发展点。至此，学生通过操作、发探、迁移等过程，水到渠成地归纳两位数除以一位数的一般计算方法。上述内容的安排，体现了算理的迁移过程，突出了如何顺应学生的认知规律，引导学生在理解算理的基础上发现算法的过程。2013.7.4
