《小学奥数容斥原理重叠问题(二)例题练习习题(含知识点拨).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数容斥原理重叠问题(二)例题练习习题(含知识点拨).doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）教课目标1. 认识容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识重点一、两量重叠问题在一些计数问题中，常常遇到有关会集元素个数的计算求两个会合并集的元素的个数，不可以简单地把两个会集的元素个数相加，而要从两个会集个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(此中符号“”读作“并”，相当于中文“和”也许“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包括与消除原理，简称容斥原理图示以下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即
2、暗影面积图示以下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即暗影面积1先包括AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2再消除ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去包括与消除原理告诉我们，要计算两个会集A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算会集A、B的元素个数，而后加起来，即先求AB(意思是把A、B的全部元素都“包括”进来，加在一起)；第二步：从上边的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“消除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B
3、类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示以下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数1先包括：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次2再消除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了3再包括：ABCABBCACABC在解答有关包括消除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思虑例题精讲模块一、三量重叠问题【例1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不一样的报纸。假如该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，此中甲
4、报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有_户。【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【重点词】希望杯，4年级，1试【分析】总合有（303440）252户居民，订丙和乙的有523022户。【答案】22户【例2】某班学新手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人此中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答ABC【分析】如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表
5、示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的假如用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（342618）（943）6250(人)【答案】50人【牢固】某班有42人，此中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都喜好，也没有一个人三种球都不喜好问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【分析】因为全班42人没有一个人三种球都不喜好，因此全班最少喜好一种球的有42人依据包括消除法
6、，42（261719）（94既爱打篮球又爱打排球的人数）0，获取既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427(人)【答案】7人【例3】四年级一班有46名学生参加3项课外活动此中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人求参加文艺小组的人数【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【分析】设参加数学小组的学生构成会集A，参加语文小组的学生构成会集B，参加文艺小组的学生构成集合G三者都参加的学生有z人有A
7、BC=46，A=24，B=20，C=3.5，AC=7ABC，BC=2ABC，AB=10因为ABCABCABACBCABC，因此46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人那么参加文艺小组的有37=21人【答案】21人【牢固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人最少参加一项此中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人求这个班的学生人数【考点】三量重叠问题【难度】3星
8、【题型】解答A自然B美术C语文【分析】设参加自然兴趣小组的人构成会集A，参加美术兴趣小组的人构成会集日，参加语文兴趣小组的人构成会集CA=25，B=35，C=27，BC=12，AB=8，AC=9，ABC=4.ABC=ABCABACBCABC.因此，这个班中最少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人最少参加一项即这个班有62人【答案】62人【牢固】光明小学组织棋类竞赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋竞赛的有42人，参加中国象棋竞赛的有55人，参加国际象棋竞赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋竞赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋竞赛的有10
9、人，同时参加了中国象棋和国际象棋竞赛的有9人，此中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类竞赛的共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【分析】依据包括消除法，先把参加围棋竞赛的42人，参加中国象棋竞赛的55人与参加国际象棋竞赛的33人加起来，共是425533130人把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实质上参加棋类竞赛的共有：130（18109）598(人)也许依据学过的公式：ABC人数为：42553318109ABCA5
10、98(人)BBCACABC，参加棋类竞赛的总【答案】98人【例4】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出假如只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有_人【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【重点词】西城实验【分析】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，获取只参加合唱的
11、和只参加跳舞的人数和为501040人，即x3x40，得x10，因此只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，获取同时参加三项的有3人，因此参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人【答案】17人【牢固】六年级100名同学，每人最少喜好体育、文艺和科学三项中的一项此中，喜好体育的55人，爱好文艺的56人，喜好科学的51人，三项都喜好的15人，只喜好体育和科学的4人，只喜好体育和文艺的17人问：有多少人只喜好科学和文艺两项？只喜好体育的有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【分析】不
12、过A类和B类的元素个数，有别于容斥原理中的既是A类又是B类的元数个数依题意，画图以下设只喜好科学和文艺两项的有x人由容斥原理，列方程得555651（1715）（415）（x15）15100即55565117x4152111x100x11只喜好体育的有：551715419(人)【答案】11人只喜好科学和文艺，19人只喜好体育。【例5】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，此中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问：三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答ABC【分析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人依据包括消除法，总人数（带汉堡的人数带鸡腿的人数带芝士蛋糕的人数）（带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、芝士蛋糕
