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1、取简化假设k=1，u=，m=1, =, （L）在地面上看小球的坐标随时间变化是 (M）小车上看小球的坐标的变化是 （N）小球往程出发时（t=0）的坐标是x（0）= （0)=,那么在地面上看，从（M)式显然可见,在时间0/中，小球的坐标x随着时间增加，直至t=/2，x（）达到最大值/2.在小车上看,从(N）式容易证明,在时间0tcs1（/)内x随着时间t增加，直至 cs-1（）,此时x（t）达到最大值 （O）然后(t）随着时间减小,至时间t2， 达到x=0，即回到出发点.两者比较,由于s-(2/)/2， 所以在小车上看小球达到（）式所表示的最大坐标xma时，地面上看小球还未达到它的振幅呢!而当在
2、小车上看，小球已经从最大坐标值回到出发点x=0时（/2）,地面上的观察者看到小球正好第一次达到它的振幅.所以,在小车上看,小球在时间0到内完成了一个往返。力的往返路径积分是 ( Q1）这等式的等号右边两个积分的被积力函数和有不同的函数形式。因为约定（L）所以将此式代入 ( Q1)式得 ( Q2)两个积分的被积函数中的项可以互相抵消，但是作为的函数是函数（N）的反函数，在的区间和中的表示式是不同的,分别记为和，它们不能相互抵消，所以( ）不是零。具体计算就是:从(1)出发.注意到在(Q1)中,积分的自变量是x,其往程和返程的转折点在xmax，由（O）式表示.现在做变量代换=x- ，往程和返程的转
3、折点就要用max所对应的x和t来表示了。上面(N）和（O）之间的文字已经说明,往程和返程的时间转折点是co1（2/),而根据（M)得此时x达到，此即转折点所对应的x值。所以（Q1）式化为= （P)因为又因为(M）式，所以上式化为=!！ ( Q)现在用另一种方法计算：在 (Q)的两个积分的被积函数中先消除项,再分别用分部积分得到= ！ ( ）-从小车系看来弹力是不是保守力，必须看它是否符合保守力定义.保守力定义是:移动质点做的功仅与质点所处位置有关的力叫做保守力。因为,由于只研究(0,/）,是一个一元单值函数，所以存在反函数t=l(x）,所以X=-ut=x-ul(x）,所以=(X).从小车系看来
4、，弹力做的功是:.dW=FdX=fX =-x(x-ut)=-xdx+xud=-kxdx+mAcos(t)d（t）,=-dx+uAco（t)d（t)，W()-W(0)=kA2-k2+Asin （t)-mAin (0)，W(t)-0=kA2-+muAsinl（x） =W(x)，W()=kA2-k2（）+uAsinl（X） =W(X).所以，从小车系看来，弹力做的功W(t)=W(x)=()仅与弹簧振子的位置X或x有关,所以从小车系看来,弹力是保守力。方法二:设0时刻参照系,O完全重合，且系相对于系以正常数u的匀速开始运动.则o系中的保守力在系中也是保守力证明：设时刻,质量为m的质点m的位矢、速度、加
5、速度、受的力、做的功在系中分别为:r,v，a，f，w，在系中分别为:R,V,A，F,W，则有R=-ut，V=v-,A=a-=a，F=A=a=f;R=Vd=vdt-udt=dr-ut。d=FdR=(dr-udt)=fdr-mut=dw-m=dw-md(uv)，=-d(uv），W=w-muv+mu由d=adt知，v是t的函数；由r=vdt知，r是t的函数，所以t是r的函数(当不是t的单值函数时，我们可以分单调区间分别研究,在这里只考虑它的一个单调区间,其他单调区间类似)因v是t的函数，t是r的函数,故v是r的函数;因t是r的函数,故=-t是r的函数，所以r是R的函数因为w，v是的函数,所以W=w-m+是r的函数；因为是的函数,所以W=w-muv+u是R的函数，所以O系中的力F=mA=ma=是保守力文中如有不足，请您指教！ /
