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1、教学案例：根式与分数指数幂厦门市集美区灌口中学 吴清平背景在基本初等函数（）一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：和，教材中是通过实例引入并给出定义：如果，那么x叫做a的n次方根。如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作。当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：
2、有什么办法可以顺利地引入根式呢？解决策略当我们重新回忆“”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为x，既然，推导的结果即。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。那么，“”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：是一个数，它的平方等于2！由此，“”也是
3、一个数，它的n次方等于a！更进一步，是什么呢？由知，故也是一个数（对数），a的次方等于N。如此，则及便不难理解了。于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。（2）数学符号是学习数学的一大难点，若不能引起足够的重视，则学生便常常会把符号混用，导致知识的缺陷。重视数学符号的功能，更应讲清它的来龙去脉，帮助学生在有意义的学习中轻松记忆相关内容。（3）有利于学生的后继学习。是什么？i又是什么？许多符号在后面的学
4、习中都会陆续出现，当学生充分理解根式的意义时，接下来的学习便不会再有困难了。当然我们更要追问：为什么要引入正分数指数幂？负分数指数幂又是如何定义的？通过对以上问题的认真、深刻思考，我们设计了如下教学课例：教学设计：根式与分数指数幂一、教学任务分析知识与技能（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。过程与方法通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。情感、态度与价值观通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。二、教
5、学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。三、教材分析教科书先给出了两个实际例子：国内生产总值（GDP）的增长问题，生物体内碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中已学的整数指数幂，也让学生感受其中的函数模型，并且还有思想教育价值；后一个问题，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充
6、到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理指数幂逼近无理系数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数。四、教学基本流程实例 根式 分数指数幂 无理指数幂五、教学情景设计第一课时 根式1、问题情境设疑问题1、根据国务院发展研究中心2000年发表的未来20年我国发展前景分析判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？分析：设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么。设疑：正整数指数幂的含义是什么？它具有
7、哪些运算性质？问题2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。例如：当生物死亡了5730，25730，35730，年后，它体内碳14的含量P分别为，当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为，。设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？2、数系的扩充你是否看过杂技团演出中“小狗做算术”这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如“2 + 5”
8、，由演员写到黑板上，小狗看到就会“汪汪汪”叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的“数学尖子”表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。我们开始接触数学时，便是从0、1、2、3、4、等认识起的，并把它们称作自然数，初步有了“加”的运算：两个自然数相加，仍为自然数。但是，两个自然数相减呢？随着社会的发展，人们又发现了很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西，为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称整数。一个数连加几次，如5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5，每次书写都挺麻烦的，于是便引入了
9、另一种运算“乘“，连加即为乘，“”也只是一种记号，其初始含义是连加的意思（na = a + a + + a）。类似地，连乘记为乘方，即。两个整数相乘后仍为整数，自然地我们考虑其逆运算“除”，如23，它却不是整数，于是又引入了分数，它仍是一个记号：把n分成m等分。进一步我们自然地会追问：如果，那么x是什么呢？如x 2 = 4，由于，那么x 2 = 2时，x等于多少？我们知道存在实数x，它的平方等于2，但我们没有办法用有理数表示它，从而便有了根式的概念：用表示，“”是什么呢？它是一个数，它的平方等于2！更一般的情况，“”是什么呢？也是一个实数，它的n次方等于a，即！3、根式（1）平方根：；立方根：
10、。（2）n次方根：如果，那么x叫做a的次方根。类似于平方根与立方根的结论，我们有：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为：。当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，记为；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。（3）根式：，n 根指数，a 被开方数。第二课时 分数指数幂1、复习（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：运算性质：。问题设疑：如何计算：？分析：，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？问题：能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？2、分数指数幂实例引入：，问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？2、如何表示？结论：规定问题
11、3、分析：如：，。规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。3、有理指数幂的运算性质：回到前面的问题，则有，相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。案例分析与反思1、以上我们只展示了课堂教学的片断，对根式与分数指数幂的概念的教学提出自己的设想，目的是讲清知识发生、形成的过程及引入根式、分数指数幂的必要性，激发学生的学习兴趣。2、本课例是根式的拓展与延伸，处处注意与初中所学知识的类比，如根式与平方根、立方根的类比，分数指数幂与整数指数幂的类比，使知识的形成水到渠成，学生在原有认知的基础上进行有益的推广，其学习是主动的、积极的，知识形成是自然的，没有强加之嫌
12、，在教师的引导下，学生始终处于“我要学”的状态，并自觉去探究新的教学任务。3、为什么要引入根式？又为什么要学习分数指数幂？教材中并没有详细说明，只是用“数学上的规定”来阐述。若我们不能及时引导学生追问“为什么”，则只能是用条条框框的割裂方式肢解知识的结果，把孩子活生生的思考也肢解了。几经如此，学生宝贵的思维火花便将熄灭，而走上这样一条路：不再思考，刻板记忆，不求甚解，渐渐地，思维的心灵变得麻木了。因此，在教学过程中，对任何细节，都应鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其他事物之间的联系，使它逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。这些知识本身或许并不重要，但形成一种有如“水银泻地无孔不入”的思想方法，却是智力素质提高的一个方面。4、本节以两个具体事例：国内生产总值（GDP）的增长问题，生物体内碳14的衰减问题引入，但这两个例子与本节的教学联系不大，尤其是第一课时根式，更是没有什么关系，因此，要不要用这两个例子呢？或者，把它们移至指数函数的图象与性质一节引入更贴切些。
