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1、第7章 机器学习参考答案7-6 设训练例子集如下表所示：序号属性分类x1x21TT+2TT+3TF-4FF+5FT_6FT_请用ID3算法完成其学习过程。解：设根节点为S，尽管它包含了所有的训练例子，但却没有包含任何分类信息，因此具有最大的信息熵。即：H(S)= - (P(+)log2 P(+) + P(-)log2 P(-)式中P(+)=3/6，P(-)=3/6分别是决策方案为“+”或“-”时的概率。因此有H(S)= - (3/6)log2(3/6) + (3/6)log2(3/6) =1按照ID3算法，需要选择一个能使S的期望熵为最小的一个属性对根节点进行扩展，因此我们需要先计算S关于每个
2、属性的条件熵：H(S|xi)= ( |ST| / |S|)* H(ST) + ( |SF| / |S|)* H(SF)其中，T和F为属性xi的属性值，ST和SF分别为xi=T或xi=F时的例子集，|S|、| ST|和|SF|分别为例子集S、ST和SF 的大小。下面先计算S关于属性x1的条件熵：在本题中，当x1=T时，有： ST=1，2，3当x1=F时，有： SF=4，5，6其中，ST 和SF中的数字均为例子集S中的各个例子的序号，且有|S|=6，| ST |=| SF |=3。由ST可知，其决策方案为“+”或“-”的概率分别是：PST(+)=2/3PST (-)=1/3因此有：H(ST)= -
3、 (PST (+)log2 PST (+) + PST (-)log2 PST (- )= - (2/3)log2(2/3) + (1/3)log2(1/3) =0.9183再由SF可知，其决策方案为“+”或“-”的概率分别是：PSF (+)=1/3PSF (-)=2/3则有：H (SF)= - (PSF (+)log2 PSF (+) + PSF (-)log2 PSF (- )= - (1/3)log2(1/3)+ (2/3)log2(2/3) =0.9183将H(ST)和H (SF)代入条件熵公式，有：H(S|x1)=(|ST|/|S|)H(ST)+ (|SF|/|S|)H(SF) =(
4、3/6)0.9183 + (3/6)0.9183=0.9183下面再计算S关于属性x2的条件熵：在本题中，当x2=T时，有： ST=1，2，5，6当x2=F时，有： SF=3，4其中，ST 和SF中的数字均为例子集S中的各个例子的序号，且有|S|=6，| ST |=4，| SF |=2。由ST可知：PST (+) = 2/4P ST (-) = 2/4则有：H(ST)= - (P ST (+)log2 P ST (+) + P ST (-)log2 P ST (- )= - (2/4)log2(2/4) + (2/4)log2(2/4) =1再由SF可知：P SF (+)=1/2P SF (-
5、)=1/2则有：H(SF)= - (P(+)log2 P(+) + P(-)log2 P(- )= - (1/2)log2(1/2)+ (1/2)log2(1/2) =1将H(ST)和H (SF)代入条件熵公式，有：H(S|x2)=(|ST|/|S|)H(ST)+ (|SF|/|S|)H(SF) =(4/6)1 + (2/6)1=1可见，应该选择属性x1对根节点进行扩展。用x1对S扩展后所得到的部分决策树如下图所示。S(+,+,-)(+,-,-)x1=Tx1=F扩展x1后的部分决策树 在该决策树中，其2个叶节点均不是最终决策方案，因此还需要继续扩展。而要继续扩展，只有属性x2可选择，因此不需要
6、再进行条件熵的计算，可直接对属性x2进行扩展。对x2扩展后所得到的决策树如下图所示：S(+,+,-)(+,-,-)x1=Tx2=F扩展x2后得到的完整决策树(+,+)(-)(-,-)(+)x2=Tx2=Fx2=Tx2=F7-9假设w1(0)=0.2, w2(0)=0.4, (0)=0.3, =0.4，请用单层感知器完成逻辑或运算的学习过程。解：根据“或”运算的逻辑关系，可将问题转换为：输入向量：X1=0, 0, 1, 1 X2=0, 1, 0, 1输出向量：Y=0, 1, 1, 1由题意可知，初始连接权值、阈值，以及增益因子的取值分别为：w1(0)=0.2, w2(0)=0.4, (0)=0.
7、3，=0.4即其输入向量X(0)和连接权值向量W(0)可分别表示为： X(0)=(-1, x1 (0), x2 (0)W(0)=(0), w1(0), w2 (0)根据单层感知起学习算法，其学习过程如下：设感知器的两个输入为x1(0)=0和x2(0)=0，其期望输出为d(0)=0，实际输出为：y(0)=f(w1(0) x1(0)+ w2(0) x2(0)-(0) =f(0.2*0+0.4*0-0.3)=f(-0.3)=0实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。再取下一组输入：x1(0)=0和x2(0)=1，其期望输出为d(0)=1，实际输出为：y(0)=f(w1(0) x1(0)+ w2(0)
8、 x2(0)-(0) =f(0.2*0+0.4*1-0.3)=f(0.1)=1实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。再取下一组输入：x1(0)=1和x2(0)=0，其期望输出为d(0)=1，实际输出为：y(0)=f(w1(0) x1(0)+ w2(0) x2(0)-(0) =f(0.2*1+0.4*0-0.3)=f(-0.1)=0实际输出与期望输出不同，需要调节权值，其调整如下：(1)=(0)+(d(0)- y(0)*(-1)=0.3+0.4*(1-0)*(-1)= -0.1w1(1)=w1(0)+(d(0)- y(0)x1(0)=0.2+0.4*(1-0)*1=0.6w2(1)=w2(0)
9、+(d(0)- y(0)x2(0)=0.4+0.4*(1-0)*0=0.4再取下一组输入：x1(1)=1和x2(1)=1，其期望输出为d(1)=1，实际输出为：y(1)=f(w1(1) x1(1)+ w2(1) x2(1)-(1) =f(0.6*1+0.4*1+0.1)=f(1.1)=1实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。再取下一组输入：x1(1)=0和x2(1)=0，其期望输出为d(0)=0，实际输出为：y(1)=f(w1(1) x1(1)+ w2(1) x2(1)-(1) =f(0.6*0+0.4*0 + 0.1)=f(0.1)=1实际输出与期望输出不同，需要调节权值，其调整如下：(2
10、)=(1)+(d(1)- y(1)*(-1)= -0.1+0.4*(0-1)*(-1)= 0.3w1(2)=w1(1)+(d(1)- y(1)x1(1)=0.6+0.4*(0-1)*0=0.6w2(2)=w2(1)+(d(1)- y(1)x2(1)=0.4+0.4*(0-1)*0=0.4再取下一组输入：x1(2)=0和x2(2)=1，其期望输出为d(2)=1，实际输出为：y(2)=f(w1(2) x1(2)+ w2(2) x2(2)-(2) =f(0.6*0+0.4*1 - 0.3)=f(0.1)=1实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。再取下一组输入：x1(2)=1和x2(2)=0，其期望
11、输出为d(2)=1，实际输出为：y(2)=f(w1(2) x1(2)+ w2(2) x2(2)-(2) =f(0.6*1+0.4*0 - 0.3)=f(0.3)=1实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。再取下一组输入：x1(2)=1和x2(2)=1，其期望输出为d(2)=1，实际输出为：y(2)=f(w1(2) x1(2)+ w2(2) x2(2)-(2) =f(0.6*1+0.4*1 - 0.3)=f(0.7)=1实际输出与期望输出相同，不需要调节权值。 至此，学习过程结束。最后的得到的阈值和连接权值分别为：(2)= 0.3w1(2)=0.6w2(2)= 0.4不仿验证如下：对输入：“0 0”有y=f(0.6*0+0.4*0-0.3)=f(-0.3)=0对输入：“0 1”有y=f(0.6*0+0.4*1-0.3)=f(0.1)=1对输入：“1 0”有y=f(0.6*1+0.4*0-0.3)=f(0.3)=1对输入：“1 1”有y=f(0.6*1+0.4*1-0.3)=f(0.7)=11
