《3.5探索与表达规律例题与》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.5探索与表达规律例题与（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 探索与表达规律一、【问题引入与归纳】 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。规律探索规律探索是数学中常见的类型之一,是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想探索规律的一般方法是:（1)观察:从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2)猜想：由此及彼,合理联想,大胆猜想;()归纳：善于类比，从不同的事物中发现
2、其相似或相同点;（)验证：总结规律,作出结论,并取特殊值验证结论的正确性.探索规律问题,要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律,尝试猜想、归纳其规律,并取特殊值代入验证。在探索规律的过程中,要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果。【例】观察下列数表:根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第列的交叉点上的数应为_，第n行(n为正整数）与第n列的交叉点上的数应为_解析：通过观察、分析、比较可知,第1行与第1列的交叉点上的数是，第2行与第列的交叉点上的数是3,第3行与第3列的交叉点上的数是，第4行与第4列的交叉点上的数是7，所以可猜想第行与第6列的交叉点上的数是1,第n行（为正整数
3、)与第n列的交叉点上的数应为2n-1答案:11 n12。探索规律的常见类型及方法（1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：（2)新运算的规律新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算。新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序(3）图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律【例21】符号“”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：(1）(1）=0，（2）=1，（3),（4）,（)=2，4，=5,利用上面的规律计算：-（20).分析：从（1)中的运算可以看出,当括号内
4、的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1,所以（ 01)=2 01;从（)中可以看出,当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数,所以 解：(2 012)=213 011。【例2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+1624+8（n是正整数）的结果为（ )A（n+1）2 (2n1）C。（+2）2 D。2解析:观察图形和下面的式子可以知道,18=1+81=932，1+8681+852,18+12181+372，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方,所以81+24+n(2n+1)2。故选A答案：A3探索规律的应用常见的探索规律的应用:探索日历
5、中的规律和折叠中的规律(1）探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律,当然也可以从其他角度去探索.横行：相邻两数相差1.如左下图所示：竖列:相邻两数相差7。如右上图所示斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6。日历中的3方框内的规律:在这个方格中的数的和是中间方框中的数的倍.若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示,则这9个数的和即为（a-）+（a7）(-6)+(1）+a+（a1）+（a+6）（+7)+（a+8），正好是中间数a的倍。（2）折叠中的规律将一张纸折叠,每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来,找出
6、规律，就可预测当折叠次后,相应的层数与折痕数折叠次数：1,2,，5,，n.层数：2，4,8，1,2，,2n.平行对折的折痕数：,3，7，1，31,，n1_【例31】 01年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗?请你填在下面的横线上:春节：月_日，除夕:2月_日.解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出.如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少1，即24-110,春节是10日，根据横列中相邻相差1的规律，可知除夕是9日.答案：10 9【例3-2】 将连续的偶数2，,8，排列成如右图所示的数表.(1)“十”字框内个数的和，与框
7、内中间的数18有什么关系？（2）若将“十字框上、下、左、右平移,框住另外5个数,这5个数还有这样的规律吗？（3)设中间的数为a,用代数式表示“十”字框内5个数之和分析：观察对比可以发现:左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差。再换另一组数，同样有这样的规律.解：（1)66820+309，而018，所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍（2）将框上、下、左、右平移,任意框住个数，同样有这样的规律.()若中间的数为a，则框住的5个数分别为a-12，a,a，+2，a2，其中a为偶数,故它们的和为（a12)+（a2）+a(a+2）+(12）5a【例-3】 如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，
8、会有_条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成_个小长方形解析：根据折叠中的规律：对折7次,即当n7时,平行折痕数为2n1=271=17(条),1条折痕能把长方形分成个小长方形,2条能分成3个，,17条折痕则分成18个小长方形答案:27 128二、【典型例题解析】1、 观察算式：按规律填空:+3+5+9 ？,1+3+57+ ？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图所示）的规律，拼成若干个图案:（1）第个图案中有白色地面砖多少块?(）第个图案中有白色地面砖多少块？4、 观察下列一组图形，如图，根据其
9、变化规律，可得第0个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？5、 观察右图,回答下列问题：(1）图中的点被线段隔开分成四层,则第一层有个点,第二层有3个点，第三层有多少个点,第四层有多少个点？（）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？(3）某一层上有7个点,这是第几层？(4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？6、 读一读：式子“1+4+5+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长,书写也不方便，为了简便起见，我们可将“+3+5+0”表示为,这里“”是求和符
10、号，例如“1+5+7+9+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读,请解答下列问题:(1）26+8+0+0(即从开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ;（2）计算： （填写最后的计算结果）。7、 观察下列各式，你会发现什么规律？5=15,而142-1 7=5，而562- 113=143,而1=22-1 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。、 请你从右表归纳出计算123+3+n的分式，并算出13+3+1003的值。三、【跟踪训练题】1 1、有一列数其中：=62+，=632,64+3，65+4；则第个数= ，当=20
11、时，= .2、将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行1612第三行182024282 根据上面的规律,则200应在 行 列.、已知一个数列2,，9，20，35则的值应为：（ ） 4、在以下两个数串中:1，3，5，,，191,199，1995,1997，199和，,，0,，1990,19,1996,199,同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个。A.333 B。334 C35 .336 5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人,就把方桌拼成一行，张方桌拼成一行能坐人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数123n人数46、给出下列算式: 观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 、通过计算探索规律: 152=25可写成100（1）+25 25=2可写成102(2+1）+25 52=25可写成103（+1）+25 452=25可写成4（+1)+5 752=562可写成 归纳、猜想得:（10n+5）2= 根据猜想计算：1992 、已知，计算:112+12+132+192= ; 9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时,代数式2+n+4所表示的是质数.请验证一下，当4时,n24的值是什么？这位学者结论正确吗？172839410511612例.如图，平面内有公
