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1、 戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考高考 高中数学专用讲义 主讲：胡老师专题、排列组合 1 知识填空 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有种不同的方法，做第二步有不同的方法，做第n步有不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.排列和排列数：公式P是指排列，从n个元素取m个进行排列(即排序)。 组合和组合数：，公式C是指组合，从n个元素取m个，不进行排列（即不排序）。加法原理：做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第种类办法中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法。【排列数和组合数公式】排列数公式：(,且).注：
2、规定排列恒等式 （1）;（2）;（3）; （4）;（5）.（6）.组合数公式 (且)组合数的两个性质（1）（2）（3）注：规定. 组合恒等式（1）;（2）;（3）; 以下公式都和二项式定理相关：（4）（5）.(6). (7).(8). (9).排列数与组合数的关系：2 重点点拨【排列组合问题解题技巧归纳汇总】1）特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得例2. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数
3、字的三位偶数的个数为 （ ） A324 B328 C360 D648解：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）， 当0不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.2）相邻元素捆绑策略例3. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法例4. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.96
4、0种 C.720种 D.480种解：首先两位老人不站在两端，那么在5名志愿者中挑2位站两端，有种；两位老人要相邻，用捆绑法把他们看成一位，和剩下的3名志愿者一起排，有种；两位老人内部排列，有种，则总共有种。故选B。3）不相邻问题插空策略例5.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,节目的不同顺序共有种提示：不相邻问题通常用插空法：把要求不相邻的元素放在一边，先排其他元素，再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上。
5、4）定序问题倍缩空位插入策略例6.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。（实际类似捆绑法）5）排列问题求幂策略例7.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法6）环排问题线排策
6、略例8. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有7）多排问题直排策略例9.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前排右2个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有 8）排列组合混合问题先选后排策略例10.有5个不同的小球,装入4个不同的
7、盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有9）平均分组问题除法策略例11. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,种分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。例12. 把10人平均分成2组，每组5人，问共有多少种不同的分法？解：先确定第1组，有种方法，再确定第二组，有种方法。这样确定两组共有种方法。因为是等分组，第一、二组次序可交
8、换，同一种分法被重复了次，所以共有种分法例13：把10人分成3组，一组2人，一组3人，一组5人，问有多少种不同的分法？解：按人数的多少，可把各组划分为第一组，第二组，第三组。先确定第1组，有种；再确定第二组，有种法；最后确定第三组，有种，共有种。例14：把10分成3组，一组2人，其余两组各4人，问有多少种不同的分法？解：先确定第1组，有种方法;再确定第二组，有种方法;最后确定第三组，有种方法。因第二、三组次序可交换，故同一分法被重复了次，所以共有 (1)对于等分组问题：分法数=(2)对于不等分组问题：分法数=按序分组的总数(3)对于混合分组问题：分法数= 3 当堂检测1、某班级要从4名男生、2
9、名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A.14B.24C.28D.48解法一：从正面看，至少有1名女生，可以分为有1名女生的情况和有两名女生的情况，分别为和种，所以总共有种。解法二：从反面看，6人中选4人的方案种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。思路：解法一，用分类计数原理直接解题；解法二为间接法2、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A. B.个C.个D.个解：乘法原理，先排英文字母，没要求两个字母不同，所以英文字母有种；接下来4个数字要求互不相同，有种，所以总共有
10、个牌照。选A。思考：如果要求字母互不相同，或数字可以相同，则要怎么解呢？排列问题求幂策略3、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）A40种B60种 C100种 D120种解：乘法原理，5位同学中选4位参加活动，有种，在这4位中选2为星期五去，有种，剩下的两位安排星期六和星期日，有种，所以总共有种。选B。思路：排列组合混合问题先选后排策略4、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（
11、 ）A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种解：分类计数：甲在星期一有种安排方法，甲在星期二有种安排方法，甲在星期三有种安排方法，总共有种。特殊元素优先策略，以甲的位置为分类基础，看乙丙的排列。5.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）解：对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 思路：分类计数原理（加法原理）6、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他
12、人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A B CD 解法一：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有种插法，故为；综上知选C。解法二：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，如果两个人相邻，则有种；如果两个人不相邻，则有种，由加法原理得。答案与解法一相同。这里用到公式：思路：排列组合混合问题先选后排策略。解法三：不相邻问题插空策略7、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共 。解：正面解法：先排末位，不为0或5
13、，则有种，紧接着排最高位，最高位不为0，有种，中间两位种，则总共有种。思路：特殊元素优先策略8、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答)。解：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，不同的安排方案共有种。奇奇偶偶1、21、21、22、12、1思路：特殊元素优先策略，不相邻元素插空法（此题要注意的是捆绑元素因为顺序是固定的，所以可以看做一个元素）。9、（2009四川卷）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两
14、端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36解：第一步，先排女生：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；第二步，排男生甲，男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）；第三步：再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。思路：特殊元素位置优先，捆绑法+插空法10、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）思路：平均分组问题除法策略11、（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）解：分两步完成：第一步将4名大学生按
