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1、常用逻辑用语一、【知识梳理】 （一）四种命题及其关系： 1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题： ； 否命题： ；逆否命题： 。 2、一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系： （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（2）原命题为真，它的否命题不一定为真； （3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；（4）逆命题为真，它的否命题一定为真。 （二）充分条件和必要条件：1、“若p则q”是真命题，即；“若p则q”为假命题，即。2、 （1）若，但，则p叫q的 ；（2）若，但，则p叫q的 ；（3）若，且，则p叫q的
2、；（4）若，且，则p叫q的 ；3、证明p是q的充要条件分两步：（1）充分性，把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出q； （2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p；（三）逻辑联结词：1、或、且、非这些词叫做逻辑联结词。 或：两个命题中至少一个成立； 且：两个命题都成立； 非：对一个命题的否定；2、了解真值表：（四）含有一个量词的命题：1、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。2、将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(
3、x)成立”可用符号简记为 。3、短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。4、存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为 。5、全称命题，p(x)，它的否定： ，全称命题的否定是存在性命题。6、存在性命题，p(x)，它的否定： ，存在性命题的否定是全称命题。二、【思维突破】1、判断命题充要关系有三种方法：（1）定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假；（2）等价法：即利用与，与的等价关系。对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法。（3）利用集合间的包含关系判断：2、确定条件为不充分或不必要条件时，常用举反例
4、的方法来说明。3、在判断充要性时，正面判断较难，可考虑“正难则反”的原则，转化为应用该命题的逆否命题进行判断。4、集合中的“交、并、补”与逻辑联结词“且、或、非”密切相关。 （1），集合的交集是用“且”来定义的。（2），集合的并集是用“或”来定义的。 （3），集合的补集与“非”密切相关。 （4）“p或q为真”的含义有三种情形：只有p成立；只有q成立；p、q同时成立。这三种情形依次对应于集合中的；。 （5）“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”，它类似于集合中的 。5、要判定全称命题是真命题，需对集合M中的每个元素x证明p(x)成
5、立；如果在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题。6、要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个元素，使成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题。三、【典型例题】例题1、（1）设原命题是“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是 。 （2）原命题“若，则a=b”的否定形式是 ； 而其否命题为 。 点评：要严格区别命题的否定与否命题的差别，同时一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，切记。例题2、判断下列命题的真假：（1）； （2）； (3) （4）； （5）； （6）；（7）； （8）
6、命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题。（9）命题“在中，若，则”的否命题；例题3、已知命题p：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题q：不等式有解。若命题 P是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围。例题4、设命题p：|4x3|1，命题q：，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围。例题5、（1）下列结论中是真命题的是 。 在上是增函数的一个充分条件是； 已知甲：，乙：，则甲是乙的充分不必要条件； 数列是等差数列的充要条件是是共线的。（2）若非空集合A、B、C满足，且B不是A的子集，则下列说法正确的是 。 “”是“”的充分条件但不是必要条件； “”是“”的必要条件但不是充分条件；
7、“”是“”的充要条件； “”既不是“”的充分条件也不是必要条件；例题6、（1）命题甲：成等比数列；命题乙：成等差数列，则甲是乙的 条件。（2）设，则“”是“xsinx0且。4、“”是“一元二次方程有实数解”的 条件。5、“”是“”的 条件。（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）6、“mn0”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的 条件。（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）7、设集合A、B是全集U的两个子集，则是的 条件。8、已知命题p：,若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 。9、设命题；命题，若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 。10、已知命题p：函数的值域为R；命题q：函数是减函数。若p和q一真一假，则实数a的取值范围是 。11、设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的 条件。12、有四个关于三角函数的命题，其中的假命题是 。； ； ；13、已知命题P： 命题q：若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。14、已知P：关于x的方程在区间(0，2)上有两个相异的零点；Q：函数在上有极值。若P和Q有且只有一个正确，求m的取值范围。
