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1、专题二函数【考点聚焦】考点1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值；考点2：函数的单调性、奇偶性、周期性；考点3：指数函数和对数函数的定义、性质（尤其是单调性）、图象和应用；考点4：反函数的定义、求反函数、函数图象的位置关系；考点5：抽象函数问题的求解考点6：运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题考点7：导数的概念及运算，导数的应用.【自我检测】1、函数的定义是_.2、对于函数定义域内任意x，若有则f(x)为奇函数，若有，则f(x)为偶函数.奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称.3、给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2D，当x10a0且a1)对数函数y=loga
2、x(a0且a1)图象a10a10a0,a1,x0),求f(x)的表达式 (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 思路分析 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=logax(a1，t0；0a1，t1,x0;0a1,x0恒成立，试求实数a的取值范围 思路分析 解法一运用转化思想把f(x)0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一 在区间1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x
3、+a0恒成立 设y=x2+2x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 演变3：设m是实数，记M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)证明
4、当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM (2)当mM时，求函数f(x)的最小值 (3)求证 对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1 问题3：函数的奇偶性与单调性函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性与单调性方法：若为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 例3：已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证
5、明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 思路分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点 证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0时，f(x)1，且对
6、任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；点拨与提示：根据f(a+b)=f(a)f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法.演变5：已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 点拨与提示 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思
7、维能力以及运算能力 要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 问题4：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法例4：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1
8、的长的取值范围 (1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()点评 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 解答本题的关健是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合由于此题表面上重在“形”，因而一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”演变6：已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非负的，求关于x的方程=|a1|+2的根的取值范围问题5：含参数的指数函数、对数函数与不等式综合问题掌握指数函数、对数函数函数的概念、图象和性质并能灵活应用图象和性质分析问题、解决问题；特别是底是参数时，一定要区分底是
