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1、数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律， 作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模 型，并利用表 1 给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后 用它预报 2000年、2010年美国人口.表 1 美国人口统计数据年（公元）1790180018101820183018401850人口（百万）3.95.37.29.612.917.123.2年（公元）1860187018801890190019101920人口（百万）31.438.650.262.976.092.0106.5年（公元）1930194
2、019501960197019801990人口（百万）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.42.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出.1 假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比） .2 建立模型：记时刻1=0时人口数为和时刻t的人口为由于量大可视为连续、可微函数t到t + At时间内人口的增量为:xC+Ar）- xC）Ar= rxtJ于是x（t）满足微分方程:rxdx5 dtx （0 ） = x03 模型求解： 解微分方程（ 1）得x（）= x ert/、0（
3、 2）表明：t fg时，x（t） （r0）.4 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中 1790-1980的数据拟合得： r=0.307.5 模型检验：将 x0=3.9， r=0.307 代入公式（ 2），求出用指数增长模型预测的 1810-1920 的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年实际人口（百万）指数增长模型预测人口（百万）误差（）17903.918005.318107.27.31.418209.610.04.2183012.913.76.
4、2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.8238188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3从表 2 可看出，1810-1870 间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但 1880 年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长 .而事实上，随着人 口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著 .如果 当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那
5、么当人口增加到一定数 量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人 口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3.阻滞增长模型（Logistic模型）减函数），最简单假定1假设：（ a） 人口增 长率 r 为 人口r(x)=r-sx r,s 0（线性函数），r叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量xm2建立模型：x=m时，增长率应为o即人）m =0，r于是s=云，代入mr0= r - sx得：r (x )=( 、1 xr 1 一(x丿m y3)将（3）式代入（1）得：模型为：dxdtx(0) = x0=r 1 3 模型
6、的求解： 解方程组（4）得1+x Jm 1 e-rtx 丿04)5)dx根据方程（4）作出玄x曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随 人口数的变化规律.根据结果（5）作出 xt 曲线，见图 1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.dxx图1-1 dt 曲线图图1-2 xt曲线4 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r和x拟合得：r=0.2072, x =464.mm5 模型检验：将r=0.2072, x =464代入公式（5）,求出用指数增长模型预测的1800-1990 m的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（ 4）离散化，得x(t +1) = x(t ) + Ax
7、 = x(t) + r (1一) x (t)t=0,1,2,(6)xm用公式(6)预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表 3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较1790180018101820阻滞增长模型公式公式（6）预测人口（百万）误差（）预测人口（百万）误差（）5.90250.11373.90000.26427.26140.00856.50740.09628.93320.06958.68100.0957实际人口（百万）7.29.63.95.3183012.910.98990.148111.41530.1151184017.113.52010.209415.1232
8、0.1156185023.216.63280.283119.81970.1457186031.420.46210.348326.52280.1553187038.625.17310.347835.45280.0815188050.230.96870.383143.53290.1328189062.938.09860.394356.18840.1067190076.046.86990.383370.14590.0770191092.057.66070.373384.73050.07901920106.570.93590.3339102.46260.03791930123.287.26740.29
9、17118.95090.03451940131.7107.35880.1848137.88100.04691950150.7132.07590.1236148.79780.01261960179.3162.48350.0938170.27650.05031970204.0199.89190.0201201.17720.01381980226.5245.91270.0857227.57480.00471990251.4302.52880.2034250.44880.00386 模型应用：现应用该模型预测人口.用表 1中1790-1990年的全部数据重新估计参数可得 r=0.2083, xm=457.6. 用公式(6)作预测得 x(2000)=275; x(2010)=297.9. 也可用公式(5)进行预测.
