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1、等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。1.设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式；解：依题意，即，由此得因此，所求通项公式为。2设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项为 2 3已知等差数列的公差，且成等比数列，则【考点梳理】1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可求其余两个。2.补充的一条性质1）项数为奇数的等差数列有：，2）项数为偶数的等差数列有：， 3.等差数列的判定：an为等差数列即： ；4.三个数成等差可设：a，ad，a2d或ad，a，ad； 四个数成等差可设：a3d，ad，ad，a3d.5等差数列与函数：1）等差
2、数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=dn+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.2）点在没有常数项的二次函数上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）1）若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。（）若已知通项，则最大；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；2）若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值（）若已知通项
3、，则最小；（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小。7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等 差 数 列定义an为等差数列an+1-an=d（常数），nN+2an=an-1+an+1（n2，nN+）通项公式1）=+（n-1）d=+（n-k）d；=+-d2）推广：an=am+（nm）d.3）变式：a1=an（n1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.求和公式1）2）变式：=a1+（n1）=an+（n1）（）.等差中项1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.2）推广：2=重要性质1(反之不一定
4、成立)；特别地,当时,有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=。2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.3 成等差数列。45增减性其它性质1an=am+（nm）d.2若数列an是公差为d的等差数列，则数列an+b（、b为常数）是公差为d的等差数列；若bn也是公差为d的等差数列，则1an+2bn（1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d.3an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差； Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；三、合作探究：题型1 等差数列的基本运算例1 在等差数列an中，(1
5、)已知a1510，a4590，求a60；(2)已知S1284，S20460，求S28；(3)已知a610，S55，求a8和S8解：(1)方法一： a60a159d130方法2 ，anam(nm)da60a45(6045)d9015130(2)不妨设SnAn2Bn， Sn2n217n S28228217281092(3)S6S5a651015，又S615即a15 而da8a62 d16 S8变式训练1 设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn.解：设等差数列an的公差为d，则Sn=na1+n（n1）d. S7=7，S15=75，即 解得
6、a1=2，d=1.=a1+（n1）d=2+（n1）=.=. 数列是等差数列，其首项为2，公差为.Tn=n2n.小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2 等差数列的判定与证明例2 已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a35，S636.求数列an的通项公式；解：2an1anan2，an是等差数列，设an的首项为a1，公差为d，由a35，S636得，解得a11，d2. an2n1.变式训练2 在数列an中，a11，an12an2n
7、.设bn，证明：数列bn是等差数列；证明：由已知an12an2n得bn11bn1.又b1a11， 因此bn是首项为1，公差为1的等差数列小结与拓展：证明数列an是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明anan1（n2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an1+an+1（n2）.题型3 等差数列的性质例3 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，则=_ _ _答案：4020变式训练3 在等差数列an中，已知log2(a5a9)3，则等差数列an的前13项的和S13_.答案：52解：log2(a5a9)3，a5a9238. S1352.小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通
8、常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 题型4 等差数列的前n项和及最值问题例4 设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，a1=122d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S120，S130，即0，且0，解之得d3.（2）易知a70，a60，故S6最大.变式训练4设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等
9、于( A )A6 B7 C8 D9【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。小结与拓展：等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.2.等差数列an中，当a10，d0时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当a10，d0时，数列an为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，an为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固：1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数解：设这四个数为：，则解得：或，所以所求的四个数为：；或2由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式
