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1、圆一、基础自测1方程x2y24mx2y5m0表示圆，则m的取值范围是 (1，)解：由(4m)2445m0得m或m12以两点A(3，1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是_(x1)2(y2)225解：设P(x，y)是所求圆上任意一点，A、B是直径的端点， 0又(3x，1y)，(5x，5y)由0，(3x)(5x)(1y)(5y)0，x22xy24y200，(x1)2(y2)2253在平面直角坐标系xoy中，圆C的圆心坐标为(1，2)，且经过坐标原点，则圆C的一般方程为 x2y22x4y04已知圆O：x2y24，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为 3x4y100或x2解：点P(2，4)不
2、在圆O上，切线PT的直线方程可设为yk(x2)4根据dr，2，解得k，所以y(x2)4，即3x4y100因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x25以点(2，2)为圆心并且与圆x2y22x4y10相外切的圆的方程是 (x2)2(y2)29解：设所求圆的方程为(x2)2(y2)2r2(r0)，此圆与圆x2y22x4y10，即(x1)2(y2)24相外切，所以2r，解得r3所以所求圆的方程为(x2)2(y2)29二、典例精讲 知识点1 圆的方程例1求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系解：(解法1)
3、(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2圆心在y0上，故b0圆的方程为(xa)2y2r2 该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，解之得a1，r220所求圆的方程为(x1)2y220(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)圆过A(1，4)、B(3，2)两点，圆心C必在线段AB的垂直平分线l上kAB1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2，3)，故AB的垂直平分线l的方程为y3x2即xy10又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1，0)半径r|AC|故所求圆的方程为(x1)2y220又点P(2，4)到圆心C(1，0)的距离为d|PC|r点P在圆外变式：已知圆C的圆心与点P(2，1)关于直线
4、yx1对称，直线3x4y110与圆C相交于A、B两点，且6，求圆C的方程解：设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得故C(0，1)到直线3x4y110的距离d3AB6，r2d2218，圆C的方程为x2(y1)218知识点2 直线与圆、圆与圆的位置关系例2已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程（1）证明：直线l的方程整理得(xy4)m(2xy7)0，也就是直线l恒过定点A(3，1)由于|AC|5(半径)，点A(3，
5、1)在圆C内，故直线l与圆C恒交于两点（2）解：弦长最小时，直线lAC，而kAC，故此时直线l的方程为2xy50例3（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4设圆C的半径为1，圆心在l上（1）若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解：（1）由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过A(0，3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120（2）因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程
6、为(xa)2y2(a2)21设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a所以点C的横坐标a的取值范围为知识点3 与圆有关的定点、定值问题例4已知tR，圆C：x2y22tx2t2y4t40（1）若圆C的圆心在直线xy20上，求圆C的方程；（2）圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由解：（1）配方得(xt)2(yt2)2t4t24t4，其圆心C(t，t
7、2)依题意tt220，t1或2即x2y22x2y80或x2y24x8y40为所求方程（2）整理圆C的方程为(x2y24)(2x4)t(2y)t20，令故圆C过定点(2，0)例5平面直角坐标系xoy中，直线xy10截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点(m，0)和(n，0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解：（1）因为O点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆O的方程为x2y22（2
8、）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即，当且仅当时取等号，此时直线的方程为（3）设，则，直线与轴交点，直线与轴交点， ，故为定值2三、反馈练习1若点P(1，1)为圆(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为 2xy102与圆x2(y)21相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条33在平面直角坐标系中，设直线l：kxy0与圆C：x2y24相交于A、B两点，若点M在圆上，则实数k 14若以A(3，0)，B(0，3)，C(2，1)为顶点的三角形与圆x2y2R2(R0)没有公共点，则半径R的取值范围是 (0，)(3，) 5在平面直角坐标系xOy中，已知直线xy60与圆(x)2(y1)22交于A，B两点，则直线OA与直线OB的倾斜角之和为 606已知圆M的方程为(x2)2y21，直线l的方程为y2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B（1）若APB60，试求点P的坐标；（2）求的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标解：（1）设P(m，2m)，由题可知MP2，所以(2m)2(m2)24，解之得m0或m故所求点P的坐标为P(0，0)或P(，)（2）设，则又，又，故的最小值 （3）设，的中点，因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为，化简得， 故解得或所以经过三点的圆必过定点和
